[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:419|3|0]]${\displaystyle \beta }$) Lunghezza di una curva piana in coordinate polari.

Posto ${\displaystyle x=r\,{\text{cos}}\,\theta ,y=r\,{\text{sen}}\,\theta }$, dalla ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\,theta^{2}}$ si deduce che la lunghezza di una curva definita dalle:

                              ${\displaystyle r=r(t)}$          ${\displaystyle \theta =\theta (t)}$

vale

Consideriamo, p. es., la curva

                                        ${\displaystyle r=h+k\theta }$           (${\displaystyle h,k=}$ cost.)</math>,

che si riduce a un cerchio per ${\displaystyle k=0}$ e a una spirale di Archimede per ${\displaystyle h=0}$. Quel suo arco per cui ${\displaystyle a\leq \,\theta \leq \,b}$ ha per lunghezza

come si riconosce ponendo ${\displaystyle \theta =t}$. Posto ${\displaystyle k=0,a=0,b=\,\pi }$ se ne deduce che ${\displaystyle 2\,\pi \,h}$ è la periferia del cerchio di raggio ${\displaystyle h}$. Il lettore studii il caso${\displaystyle k\not =0}$.

${\displaystyle \alpha }$) Affatto analogo è lo studio dell'area di una superficie ${\displaystyle R}$ sghemba. Se tale superficie ${\displaystyle R}$ è in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione ${\displaystyle I}$ sul piano ${\displaystyle xy}$, ed è quindi rappresentabile con un'equazione ${\displaystyle z=f(x,y)}$, l'area ${\displaystyle \mathrm {s} }$ di quel suo pezzo ${\displaystyle \mathrm {s} }$, che si proietta in un pezzo ${\displaystyle \sigma }$ di ${\displaystyle \mathrm {I} }$ si definirà nel modo più semplice come quella funzione additiva di ${\displaystyle \sigma }$, la cui derivata in un punto ${\displaystyle \mathrm {A} }$ di ${\displaystyle \mathrm {I} }$ è identica a quella che si otterrebbe sostituendo ala ${\displaystyle \mathrm {R} }$ il suo piano tangente nel punto che si proietta in ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Tale derivata (che supporremo finita e continua) vale dunque ${\displaystyle {\frac {1}{{\text{cos}}\,\alpha }}}$, se ${\displaystyle \alpha }$ è l'angolo del primo quadrante che tale piano tangente forma col piano ${\displaystyle xy}$, cioè l'angolo ${\displaystyle nz}$ del primo quadrante che la normale ad ${\displaystyle R}$ nel punto considerato forma con