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Diremo che una classe ${\displaystyle C}$ di punti del piano è un dominio se:

${\displaystyle \alpha )}$ Ogni punto di ${\displaystyle C}$ o è interno a ${\displaystyle C}$, o appartiene al contorno di ${\displaystyle C}$.

${\displaystyle \beta )}$ Ogni punto che non appartiene a ${\displaystyle C}$ è esterno a ${\displaystyle C}$.

${\displaystyle \gamma )}$ Esiste almeno un punto interno a ${\displaystyle C}$.

Diremo che il dominio è connesso, se, scelti ad arbitrio due suoi punti interni ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ si può trovare un numero finito di cerchi ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n}}$ tali che:

${\displaystyle \alpha )}$ Due cerchi consecutivi hanno infiniti punti comuni (cioè le loro periferie si incontrano in due punti).

${\displaystyle \beta )}$ Il primo cerchio contiene ${\displaystyle E}$, l’ultimo contiene ${\displaystyle F}$.

${\displaystyle \gamma )}$ I punti di ogni cerchio sono tutti interni a ${\displaystyle C}$.

I poligoni, i cerchi, eccetera della geometria elementare sono dominii connessi; l’insieme di due cerchi esterni l’uno all’altro è un dominio non connesso. Le precedenti definizioni si possono porre per ogni dominio connesso.

I poligoni ${\displaystyle p}$ saranno quei poligoni, i cui punti (esclusi al più i punti del perimetro) sono tutti punti interni al dominio considerato. I poligoni ${\displaystyle P}$ saranno quei poligoni che contengono ogni punto interno o posto sul contorno del dominio considerato. La differenza di due poligoni ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle p}$ è un poligono (dominio limitato da segmenti) che contiene tra i suoi punti tutti i punti del contorno del dominio dato. Il dominio dato avrà un’area, se esisterà almeno un poligono ${\displaystyle P}$ (ciò che si esprime dicendo che il dominio dato è finito) e se le aree dei poligoni ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle p}$ formeranno due classi contigue. Ciò avviene soltanto quando i poligoni che contengono tutti i punti del suo contorno hanno aree, il cui limite inferiore è nullo.