[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:425|3|0]]Si osservi ora che, quando ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle k}$ tendono a zero,

Poichè le derivate prime e seconde delle ${\displaystyle x,y,z}$ sono finite e continue, sarà ${\displaystyle \lim x'(t)=x'(t_{0})}$; ${\displaystyle \lim x''(t_{3})=x''(t_{0}}$; ecc.

I rapporti ${\displaystyle a:b:c:d}$ definiti dalle (4) tenderanno al limite ai rapporti ${\displaystyle a:b:c:d}$ definiti dalle

                         ${\displaystyle \left.{\begin{matrix}ax_{0}+by_{0}+cz_{0}&+d&=0\\ax'_{0}+by'_{0}+cz'_{0}&&=0\\{ax''}_{0}+{by''}_{0}+{cz''}_{0}&&=0\end{matrix}}\right\}}$                              (5)

(dove si è posto ${\displaystyle x'(t_{0})=x'_{0},{x''}_{0}(t_{0}={x''}_{0}}$, ecc.), se nessuna delle (5) è combinazione delle precedenti, ossia se la matrice

                                   ${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&z_{0}&1\\x'_{0}&y'_{0}&z'_{0}&0\\{x''}_{0}&{y''}_{0}&{z''}_{0}&0\end{vmatrix}}}$                                             (6)

è di caratteristica ${\displaystyle 3}$. E, se questo avviene, anche l'ipotesi analoga fatta sopra le (4) è soddisfatta, se ${\displaystyle h,k}$ sono abbastanza piccole, perchè le ${\displaystyle x',x''}$, ecc. sono continue.

Il piano (2), i cui coefficienti ${\displaystyle a,b,c,d}$ soddisfano alle (5), si dirà il piano osculatore alla curva ${\displaystyle C}$ in ${\displaystyle A}$; ed è facile riconoscere che i coseni direttori della sua normale, e la distanza dall'origine sono i limiti delle quantità analoghe per il piano ${\displaystyle ABD}$; cosicchè tale piano osculatore si può dire il piano limite del piano che passa per ${\displaystyle \mathrm {A} }$ e per due punti vicini ${\displaystyle \mathrm {B,D} }$ della curva, quando ${\displaystyle \mathrm {B,D} }$ si avvicinano infinitamente ad ${\displaystyle \mathrm {A} }$.

Eliminando le ${\displaystyle a,b,c,d}$ tra le (2), (5), si ha:

(7) ${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&z&1\\x_{0}&y_{0}&z_{0}&1\\x'_{0}&y'_{0}&z'_{0}&0\\{x''}_{0}&{y''}_{0}&{z''}_{0}&0\end{vmatrix}}=0}$ ossia ${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\x'_{0}y'_{0}z'_{0}\\{x''}_{0}{y''}_{0}&{z''}_{0}\end{vmatrix}}=1}$

come equazione del piano osculatore in ${\displaystyle A}$. Ed è facile riconoscere che, nella nostra ipotesi per la matrice (6), la (7) non può ridursi ad una identità.

Dalla (7) risulta evidente che detto piano osculatore contiene la retta uscente da ${\displaystyle A=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ coi coseni direttori proporzionali ad ${\displaystyle x'_{0},y'_{0},'_{0}}$, cioè la retta tangente alla curva nel punto ${\displaystyle A}$.

Dimostriamo come esercizio, che il piano osculatore è il piano limire di un piano ${\displaystyle \pi '}$ che passa per ${\displaystyle A}$, per ${\displaystyle B}$, per la tangente in ${\displaystyle A}$, quando ${\displaystyle B}$ si avvicina indefinitamnte ad ${\displaystyle A}$.