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${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ è l'equazione di ${\displaystyle \pi '}$, le ${\displaystyle a,b,c,d}$ devono soddisfare alle: ${\displaystyle ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d=0,ax'_{0}+by'_{0}+cz'_{0}}$ e ${\displaystyle ax(t_{0}+h)+by(t_{0}+h)+cz(t_{0}+h)+d=0}$. All'ultima equazione possiamo, in virtù delle prime due, sostituire la

Passando al limite per ${\displaystyle h=o}$ e ricordando il risultato del § 63, pag. 199, questa equazione diventa ${\displaystyle a{x''}_{0}+b{y''}_{0}+c{z''}_{0}=0}$. Ritroviamo così precisamente le (5). Se adottassimo la proprietà qui enunciata per definire il piano osculatore, notiamo che non avremmo dovuto supporre continue le ${\displaystyle \mathrm {x'',y'',z''} }$, ma che sarebbe bastato supporre determinate e finite le derivate seconde nel punto ${\displaystyle \mathrm {t=t_{0}} }$.

Si dice piano normale in ${\displaystyle A}$ il piano

luogo delle normali della retta tangente in ${\displaystyle A}$innalzate dal punto ${\displaystyle A}$. La sua intersezione col piano osculatore dicesi normale principale.

La normale in ${\displaystyle A}$ al piano osculatore giace sul piano normale, e dicesi binormale.

La ragione di questo nome sta in ciò che, considerato il piano osculatore come il piano di tre punti ${\displaystyle A,B,D}$ infinitamente vicini, la binormale è normale alle due rette infinitamente vicine ${\displaystyle AB,BD}$; le quali congiungendo punti consecutivi, si debbono considerare entrambe tangenti alla curva ${\displaystyle C}$.

${\displaystyle \alpha }$) Sia                     ${\displaystyle x=x(t)}$          ,          ${\displaystyle y=y(t)}$                                    (1)

una curva piana ${\displaystyle Gamma}$; le ${\displaystyle x(t),y(t)}$ posseggano derivate prime e seconde finite e continue in un certo itorno ${\displaystyle \gamma }$ di ${\displaystyle t=a}$. Sia ${\displaystyle A}$ il punto ${\displaystyle t=a}$: siano ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ due punti ${\displaystyle t=a+h,t=a+k}$ dell'intorno ${\displaystyle \gamma }$. Supposto che i tre punti ${\displaystyle A,B,C}$ di ${\displaystyle \Gamma }$ non siano allineati, per essi passerà un cerchio di equazione

                        ${\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\nu )^{2}-R^{2}=0}$                                        (2)

se ${\displaystyle (\xi ,\nu )}$ ne è il centro, ${\displaystyle R}$ il raggio. I punti comun alla curva e al cerchio, soddisferanno all'equazione dedotta sostituendo nella equazione (2) del cerchio i valori delle ${\displaystyle \mathrm {x,y} }$ dati dalle equazioni (1) di ${\displaystyle \Gamma }$:

Il primo membro è una funzione ${\displaystyle F(t)}$ della ${\displaystyle t}$, che dovrà esser nulla almeno nei punti ${\displaystyle t=a,t=a+h,t=a+k}$