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Quindi

(15)                                                  ${\displaystyle {\frac {d\theta }{ds}}={\frac {1}{R}}}$.

Differenziano (13), ricordando (14) e (15), si ha:

donde:

                              ${\displaystyle {\frac {d\eta }{d\xi }}=-{\text{cotg}}\,\theta ={\frac {y-\eta }{x-\xi }}}$                                   (16)

                                        ${\displaystyle d\xi ^{2}+d\eta ^{2}=dR^{2}}$.                                     (17)

Le (15), (16), (17), hanno interpretazioni notevolissime. Si noti che l'incremento ${\displaystyle \Delta 0}$ subito dall'angolo ${\displaystyle \theta }$, quando si passa da una ad un'altra tangente, vale proprio l'angolo di queste due tangenti. Il rapporto ${\displaystyle {\frac {1}{R}}}$ dicesi curvatura della linea. Quindi la (15) di dice:

La curvatura in un punto ${\displaystyle \mathrm {A} }$ è il limite del rapporto ${\displaystyle \mathrm {\frac {\Delta \theta }{\Delta s}} }$ ottenuto dividendo l'angolo ${\displaystyle \mathrm {\Delta \theta } }$ formato dalle rette tangenti alla curva data nel punto ${\displaystyle \mathrm {A} }$ ed in un altro punto ${\displaystyle \mathrm {B} }$ della curva, per la lunghezza ${\displaystyle \mathrm {\Delta s} }$ dell'arco ${\displaystyle \mathrm {AB} }$, quando il punto ${\displaystyle \mathrm {B} }$ tende al punto ${\displaystyle \mathrm {A} }$.

Al variare del punto ${\displaystyle (x,y)}$ sulla curva data, il punto ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ descrive un'altra curva: la cosidetta evoluta della data curva.

L'evoluta è dunque il luogo dei centri ${\displaystyle \mathrm {(\xi ,\eta )} }$ dei cerchi osculatori.

La tangente all'evoluta in un suo punto ${\displaystyle \mathrm {(\xi ,\eta )} }$ è la retta che congiunge ${\displaystyle \mathrm {(\xi ,\eta )} }$ al punto ${\displaystyle \mathrm {(x,y)} }$ corrispondente slla curva iniziale, cioè è la normale alla curva data.

Infatti il coefficiente angolare di tale tangente ${\displaystyle {\frac {d\eta }{d\xi }}}$ è per (16) uguale a ${\displaystyle -{\frac {1}{{\text{tg}}\,\theta }}}$ (coefficiente angolare della normale alla curva