[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:433|3|0]]

E ci si può proporre il problema di dedurne direttamente le coordinate ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ del punto ove tale retta tocca l'evoluta.

Per dare un altro esempio più semplice, i cerchi ${\displaystyle C}$ di equazione

(che hanno il centro in quel punto dell'asse delle ${\displaystyle x}$, che ha l'ascissa ${\displaystyle a}$, e che hanno ${\displaystyle 1}$ per raggio) sono tutti (qualunque sia ${\displaystyle a}$) tangenti a ciascuna delle due rette ${\displaystyle y=1,y=-1}$. Ci si può porre il problema di dedurre direttamente questo teorema dalla equazione dei cerchi ${\displaystyle C}$.

Noi senz'altro esamineremo generalmente un sistema di infinite curve ${\displaystyle C}$ di equazione

                                                  ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$                                               (1)

dove ${\displaystyle a}$ è un parametro costante lungo una corva del sistema, ma che varia da una all'altra curva.

Nel campo che consideriamo la ${\displaystyle f}$ e le sue derivate parziali del primo ordine sieno finite e continue.

Ricordo che il coefficiente angolare della retta tangente alla 81) nel punto ${\displaystyle (x,y)}$ vale ${\displaystyle -{\frac {f'_{x}}{f'_{y}}}}$ se, come supporremo, ${\displaystyle f'_{x}\not =0}$.

Supponiamo che esista una curva

                                                  ${\displaystyle y=\varphi (x)}$                                                  (2)

tale che per pgni punto ${\displaystyle A}$ di tale curva passi una e una sola curva 81) e che questa curva (1) sia tangente in ${\displaystyle A}$ alla curva (2). Cioè per ogni punto ${\displaystyle A}$ della curva (2) esiste un valore di ${\displaystyle a}$ tale che la curva 81) corrispondente a tale valore di ${\displaystyle a}$ passa per ${\displaystyle A}$ ed ivi tangente a (2). Questo valore di ${\displaystyle a}$ varia col punto ${\displaystyle A}$: è cioè una funzione ${\displaystyle \Psi (x)}$, che supporremo derivabile, della sua ascissa ${\displaystyle x}$.

Dunque ogni punto ${\displaystyle A}$ di ascissa ${\displaystyle x}$ e di ordinata ${\displaystyle \varphi (x)}$ soddisfa alla 81) ove di ponga ${\displaystyle a=\Psi (x)}$; cosicchè:

è un'identità- perciò derivando troviamo:

[se ${\displaystyle y=\varphi 8x)}$; ${\displaystyle a=\Psi (x)}$]. Ma il coefficien angolare ${\displaystyle \varphi '(x)}$ della retta tangente a (2) nel punto ${\displaystyle A}$ è uguale al coefficiente

[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:433|3|0]]