[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:435|3|0]]

${\displaystyle \alpha }$) Così, p. es., la retta ${\displaystyle C}$ tangente alla ${\displaystyle y=f(x)}$ nel punto ${\displaystyle [a,f(a)]}$ ha per equazione

                              ${\displaystyle y-f(a)-(x-a)f'(a)=0}$                              (5)

Questa retta ${\displaystyle C}$ dipende da un parametro ${\displaystyle a}$; l'equazione del suo inviluppo si otterrà eliminando la ${\displaystyle a}$ tra la (5) e l'equazione centrato|${\displaystyle -f'(a)+f'(a)-(x-a)f''(a)=0}$,}} ossia

che se ne deduce, derivando (5) rispetto ad ${\displaystyle a}$. Supposto che nessun trato della ${\displaystyle y=f(x)}$ sia un segmento rettilineo (caso affatto elementare), per un valore generico di ${\displaystyle a}$ sarà ${\displaystyle f''(a)\not =0}$. E dall'ultima equazione ssi deduce ${\displaystyle x-a=0}$, pssia ${\displaystyle a=x}$. Sostituendo in (5) si trova:

che è l'equazione della curva iniziale; il che si poteva prevedere pensando che una curva è l'inviluppo delle sue tangenti.

${\displaystyle \beta }$) L'inviluppo delle rette normali ad una curva ${\displaystyle y=f(x)}$ è l'evoluta della curva. L'equazionedella normale nel pnto di coordinate ${\displaystyle a,f(a)}$ è:

                              ${\displaystyle [y-f(a)]f'(a)+x-a=0}$                              (6)

che dipende dal parametro ${\displaystyle a}$. Il punto corrispondente dell'evoluta sarà il punto ${\displaystyle (x,y)}$ che soddisfa insieme alla (6) ed alla

che si deduce da (6) derivandolo rispetto ad ${\displaystyle a}$.

Se nelle (6), (7) poniamo ${\displaystyle x_{0}}$ ed ${\displaystyle y_{0}}$ al posto di ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle f(a)}$, e poniamo ${\displaystyle \xi ,\eta }$ al posto delle ${\displaystyle x,y}$, queste equazioni si riducono alle (8), (9) del § 124 [ove si supponga ${\displaystyle x=t}$ e quindi ${\displaystyle x'_{0}=1}$. ${\displaystyle x''_{0}=0,y'_{0})f'(a)}$ ed ${\displaystyle {y''}_{0}={f''}(a)}$] Resta così di nuovo provato che:

Il punto dove la normale in ${\displaystyle \mathrm {A} }$ alla curva ${\displaystyle \mathrm {y=f(x)} }$ tocca l'evoluta della curva è il centro del cerchio osculatore in ${\displaystyle \mathrm {A} }$. E quindi: L'evoluta si può definire sia come inviluppo delle normali, che come luogo dei centri dei cerchi osculatori.