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esteso a un arco di curva come la somma degli integrali ${\displaystyle \int X\,dx,\int \,Y\,dy,\int \,Z\,dz}$ estesi allo stesso arco.

Se noi anche qui volessimo usare locuzioni abbreviate, potremmo definire il precedente integrale nel seguente modo:

Divisa la curva ${\displaystyle C}$ in infiniti archetti infinitesimi ${\displaystyle \delta }$, si moltiplichino i valori di ${\displaystyle X,Y,Z}$ in uno di questi pezzetti rispettivamente per le sue proiezioni ${\displaystyle dx,dy,dz}$ su tre assi coordinati e si sommino i prodotti così ottenuti. Otteniamo così un trinomio ${\displaystyle Xdx+Ydy+Zdz}$ per ognuno degli archetti ${\displaystyle \delta }$; la loro somma:

è il nostro integrale. Queste locuzioni sono però da considerarsi al solito come locuzioni abbreviate e non rigorose. Sarà utile esercizio ridurle ad una forma logica e soddisfacente.

${\displaystyle \gamma }$) Il valore del nostro integrale è, si ricordi, quello di

qualunque sia il parametro ${\displaystyle T}$ individuante i punti di ${\displaystyle C}$. Se, p. es., si pone ${\displaystyle t=s=}$ arco della curva ${\displaystyle C}$ contato da un'origine scelta a piacere, e se con ${\displaystyle F={\sqrt {Z^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}}$ si indica la grandezza del vettore che ha ${\displaystyle X,Y,Z}$ per componenti, con

se ne indicano i coseni direttori, il nostro integrale diventa:

se ${\displaystyle s_{0},s_{1}}$ sono i valori di ${\displaystyle s}$ per ${\displaystyle t=a}$ e per ${\displaystyle t=b}$. Poichè ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}},{\frac {dy}{ds}},{\frac {dz}{ds}}}$ sono i coseni direttori della tangente a ${\displaystyle C}$, indicando con ${\displaystyle \omega }$ l'angolo di ${\displaystyle F}$ con ${\displaystyle C}$ in un punto qualsiasi di ${\displaystyle C}$, il nostro integrale diventa ${\displaystyle \int _{s_{0}}^{s_{1}}F\,{\text{cos}}\,\omega \,ds}$. Il nostro integrale appare identico a quella funzione additiva dei pezzi della nostra curva, la cui derivata è ${\displaystyle F\,{\text{cos}}\,\omega \,ds}$, se conveniamo di assumere come misura di un pezzo di curva la sua lunghezza.