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${\displaystyle C,C',C''}$ i contorni di ${\displaystyle \gamma ,\gamma ',\gamma ''}$. Siano ${\displaystyle C'_{1}}$ e ${\displaystyle C'_{2}}$ quei pezzi del contorno ${\displaystyle C'}$ (fig. 45), i cui punti rispettivamente appartengono e non appartengono al contorno Fig. 45.${\displaystyle C''}$ e siano ${\displaystyle {C'''}_{1}}$ e ${\displaystyle {C'''}_{2}}$ quei pezzi di ${\displaystyle C''}$ i cui punti rispettivamente appartengono al controno ${\displaystyle C'}$.

Sarà: ${\displaystyle \int _{C'}\,X\,dx\,=\,\int _{{C'}_{1}}\,X\,dx+\,\int _{{C'}_{2}}\,X\,dx}$ ${\displaystyle \int _{C'''}\,X\,dx\,=\,\int _{{C''}_{1}}\,X\,dx\,+\,\int _{{C''}_{2}}\,X\,dx}$.

Evidentemente ${\displaystyle C'_{1}}$ e ${\displaystyle {C''}_{1}}$ sono archi di curve coincidenti, ma percorsi in verso opposto. Quindi:

e perciò dalle precedenti formole si ottiene, sommando:

Ma ${\displaystyle C'_{2}}$ e ${\displaystyle {C''}_{2}}$ formano complessivamente il contorno ${\displaystyle C}$ di ${\displaystyle \gamma =\gamma '+\gamma ''}$, e sono percorsi nello sesso verso, sia come appartenenti al contorno di ${\displaystyle \gamma '}$ o ${\displaystyle \gamma ''}$, sia come appartenenti al contorno di ${\displaystyle \gamma }$. L'ultima equazione dà dunque:

Questo teorema si può enuncaire dicendo:

Lo integrale ${\displaystyle \mathrm {\int \,X\,dx} }$ esteso al contorno di un campo ${\displaystyle \mathrm {\gamma } }$ è una funzione additiva di ${\displaystyle \mathrm {\gamma } }$.

Ciò rende intuitivo che in molti casi tale integrale curvilineo si potrà trasformare in un integrale superficiale esteso a ${\displaystyle \gamma }$.

Ciò appunto è approvato dal seguente teorema, da cui risulta precisamente che la derivata di tale funzione additiva vale comunemente ${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}}$.