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${\displaystyle q=z'_{y}}$]. Questo integrale si può dunque definire come quella funzione additiva dei pezzi di ${\displaystyle \sigma }$, di cui ${\displaystyle X}$ è la derivata, quando come misura di un pezzo di ${\displaystyle \sigma }$ si assume porprio la sua area.

Se ${\displaystyle \tau }$ è un campo a tre dimensioni limitato ad una superficie ${\displaystyle \sigma }$ formata da uno o più pezzi, sceglieremo come direzione positiva della normale ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle \sigma }$ in un punto di ${\displaystyle \sigma }$ quella volta verso l'interno di ${\displaystyle \tau }$.

Se ${\displaystyle X,Y,Z}$ sono in ${\displaystyle \tau }$ funzioni finite e continue di ${\displaystyle x,y,z}$ insieme alle ${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}},{\frac {\partial Y}{\partial y}},{\frac {Partialz}{\partial z}}}$, si avrà:

        ${\displaystyle \int _{\tau }{\frac {\partial Y}{\partial y}}\,d\,\tau =}$                                      ${\displaystyle =-\int \,Y\,{\text{cos}}\,ny\,d\,\sigma }$

       ${\displaystyle \int _{\tau }{\frac {\partial Z}{\partial z}}\,d\,\tau =}$                                      ${\displaystyle =-\int \,Z\,{\text{cos}}\,nx\,d\,\sigma }$

      ${\displaystyle \int _{\tau }\left({\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\right)\,d\,\tau =}$

Queste formole si dimostrano in modo simile alle precedenti del § 128.

Se ${\displaystyle X,Y,Z}$ sono le componenti di un vettore ${\displaystyle I}$, allora ${\displaystyle X\,{\text{cos}}\,nx+Y{\text{cos}}\,ny+Z\,{\text{cos}}\,nz}$ è uguale alla sua componente ${\displaystyle I_{n}}$ presa secondo la normale ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle \sigma }$ volta verso l'interno di ${\displaystyle \tau }$; la

si chiama la divergenza di ${\displaystyle I}$ e si indica con ${\displaystyle {\text{div}}\,I}$.

Si ha perciò:

che è la celebre formola così detta della divergenza.

Il secondo membro di questa formola fondamentale nelle applicazioni (per es., all'idro- od elettrodinamica) si chiama il flusso di ${\displaystyle I}$ attraverso ${\displaystyle \sigma }$; che, nelle trattazioni comuni, si suol rappresentare col numero delle linee di forza attraversanti ${\displaystyle \sigma }$.