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Siano ${\displaystyle X,Y,Z}$ tre funzioni finite e continue in un campo a tre dimensioni ${\displaystyle \tau }$ limitato da una superficie ${\displaystyle \sigma }$ e tale che, se ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ è una qualsiasi linea chiusa tracciata entro ${\displaystyle \tau }$, esista almeno una (e quindi infinite) superficie appartenente a ${\displaystyle \tau }$, avente ${\displaystyle \Gamma }$ per unico contorno, e passante per un punto qualsiasi ${\displaystyle \mathrm {D} }$ di ${\displaystyle \tau }$. Ciò avviene, p. es., se ${\displaystyle \tau }$ è un campo sferico, conico, ecc, Resta escluso invece, p. es., che ${\displaystyle \tau }$ sia un toro di rivoluzione.

Siano ${\displaystyle A,B}$ due punti qualunque di ${\displaystyle \tau }$, che congiungiamo con una linea ${\displaystyle C}$ tracciata entro ${\displaystyle \tau }$.

Quando avverrà che

non dipenda dalla particolare linea ${\displaystyle C}$ scelta, ma soltanto dalle ${\displaystyle X,Y,Z}$ e dalla posizione dei punti ${\displaystyle A,B}$? Sia ${\displaystyle C'}$ un'altra linea uscente da ${\displaystyle A}$ e terminata a ${\displaystyle B}$. Dovrà essere, se con ${\displaystyle C_{1}}$ indichiamo la ${\displaystyle C'}$ percorsa nel verso opposto (da ${\displaystyle B}$ ad ${\displaystyle A}$)

                                                  ${\displaystyle =-\int _{C'}(X\,dx+Y\,dy+Z\,dz)}$

ossia:

Ma ${\displaystyle C+C_{1}}$ costituisce in sostanza un'arbitraria linea chiusa appartenente al campo ${\displaystyle \tau }$. E quindi, se ${\displaystyle \sigma }$ è una qualunque superficie posta in ${\displaystyle \tau }$ e terminata a ${\displaystyle C=C_{1}}$, dovrà essere, con le notazioni del precedente paragrafo,

dove ${\displaystyle \sigma }$ è in sostanza una qualunque superficie appartenente al campo ${\displaystyle \tau }$. Questa uguaglianza è un'identità soltanto se:

ossia se: