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capitolo xxi — § 133

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CAPITOLO XXI.

COMPLEMENTI VARII

§ 133. — Le serie di Fourier,

Sia una funzione $f(x)$ che ammette il periodo $2\pi$ , che cioè assume valori uguali in punti che differiscono per un multiplo di $2\pi$ . Supponiamo che $f(x)$ sia sviluppabile in una serie (di Fuorier):

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\,{\text{cos}}\,nx+b_{n}\,{\text{sen}}\,nx),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ (1)

dove $n$ assume i valori $0,1,2,3.....$ , e le $a_{n},b_{n}$ sono cosanti da determinarsi. Osserviamo che il termine corrispondente ad $n=0$ si riduce ad $a_{0}$ ; cosicchè la (1) si può scrivere:

$f(x)=a_{0}+\sum _{1}^{n}(a_{n}\,{\text{cos}}\,nx+b_{n}\,{\text{sen}}\,nx).\,\,\,\,\,$ (1)_bis

Ricordando che, se $\alpha$ è intero, $\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,\alpha \,xdx$ è nullo, se $\alpha \not =0$ , ed è uguale a $2\pi$ se $\alpha =0$ , e osservando che:

$\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,{\text{cos}}\,mxdx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}(n+m)xdx+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,(n-m)xdx$ ,

troviamo, se $n,m$ sono interi positivi o nulli:

$\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,{\text{cos}}\,mx\,dx=\left\{{\begin{matrix}2\pi \,{\text{se}}\,n=m=0\\\pi \,{\text{se}}\,n=m\not =0\\0\,{\text{se}}\,n\not =m.\end{matrix}}\right.$

In modo simile si prova:

$\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,{\text{sen}}\,mx\,dx=0$

$\int _{0}^{2\pi }\,{\text{sen}}\,nx\,{\text{sen}}\,mx\,dx=\left\{{\begin{matrix}0\,{\text{se}}\,n=m=0\\0\,{\text{se}}\,n\not =m\\\pi \,{\text{se}}\,n=m\not =0.\end{matrix}}\right.$

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