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Di più ${\displaystyle 1-my>0}$ ossia ${\displaystyle {\frac {1}{y}}>m={\frac {1}{2\,h^{2}}}}$; e si può porre ${\displaystyle {\frac {1}{y}}={\frac {1}{2\,h^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{h}}\,{\text{tg}}\,{\frac {\varphi }{2}}\right]^{2}}$, dove ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi }$ è una nuova variabile di integrazione. Si ha:

E quindi, sostituendo nel nostro integrale, e osservando che

si trova, osservando che ${\displaystyle \varphi =\pi }$ per ${\displaystyle y=0}$,

Le (${\displaystyle \alpha }$), (${\displaystyle \beta }$) definiscono i punti della curva cercata in funzione del parametro ${\displaystyle \varphi }$. Tale curva è un cicloide.

${\displaystyle 4^{a}}$ Tra le curve ${\displaystyle y=y(x)}$ passanti per i punti di ascissa ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ dell'asse delle ${\displaystyle x}$, e di lunghezza prefissata ${\displaystyle L}$, trovare quella che con l'asse delle ${\displaystyle x}$ racchiude l'area massima.

Ris. In §134, ${\displaystyle \beta }$, si deve porre ${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{y'}^{2}}},\Phi =y}$. La curva cercata deve dunque soddisfare a (2) ove si ponga ${\displaystyle f=y+\lambda {\sqrt {1+{y'}^{2}}}\,(\lambda =\,{\text{cost.}})}$, cioè alla

Il primo, e quindi anche il secondo membro, sono minori di ${\displaystyle 1}$. Posto perciò

se ne dedurrà ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y'={\text{tg}}\,\varphi }$..

Quindi ${\displaystyle dy={\text{tg}}\,\varphi \,dx=\lambda \,{\text{tg}}\,\varphi \,{\text{cos}}\,\varphi \,d\,\varphi =\lambda \,{\text{sen}}\,\varphi \,d\,\varphi }$ ed ${\displaystyle y=-\lambda \,{\text{cos}}\,\varphi +\nu (\nu =\,{\text{cost.}})}$. Eliminando ${\displaystyle \varphi }$ dalle due equazioni trovate, si trova ${\displaystyle (x+\lambda \mu )^{2}+(y-\nu )^{2}={\text{cost.}}}$. La curva cercata è dunque un cerchio.,