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Si osservi che, se ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle k}$ sono due numeri interi, sarà ${\displaystyle \varepsilon _{k}=\varepsilon _{h}}$ allora ed allora soltanto che:

${\displaystyle \cos {\frac {2h\pi }{n}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}}$,

${\displaystyle \operatorname {sen} {\frac {2h\pi }{n}}=\operatorname {sen} {\frac {2k\pi }{n}}}$;

il che accade solo quando ${\displaystyle {\frac {2k\pi }{n}}}$ e ${\displaystyle {\frac {2h\pi }{n}}}$ differiscono per un multiplo di ${\displaystyle 2\pi }$,

ossia quando:

e però, dando a ${\displaystyle k}$ gli ${\displaystyle n}$ valori 0, 1, 2, .....,${\displaystyle n-2}$, ${\displaystyle n-1}$, si otterranno radici distinte, mentre i valori ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n+1}$,.....,${\displaystyle 2n-1}$ di ${\displaystyle k}$ riprodurranno le stesse radici nello stesso ordine, e così via periodicamente. Del pari, dando a ${\displaystyle k}$ i valori ${\displaystyle -1}$,${\displaystyle -2}$, ....., ${\displaystyle -n}$, si riprodurranno le stesse radici in ordine inverso, e così via periodicamente.

Dunque: Un numero reale o complesso ha n radici ${\displaystyle {\text{n}}^{\text{esime}}}$ fra reali e complesse, che si ottengono moltiplicando una di esse per ciascuno dei numeri ${\displaystyle \varepsilon _{k}}$, ossia per ciascuna delle radici ${\displaystyle {\text{n}}^{\text{esime}}}$ di 1. Infatti supponendo ${\displaystyle x=1}$, cioò ${\displaystyle \rho =1}$ e ${\displaystyle \theta =0}$, ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$ si riduce ad ${\displaystyle \varepsilon _{k}}$.

La formola che ci dà i numeri ${\displaystyle \varepsilon _{k}}$, ossia le ${\displaystyle n}$ radici ${\displaystyle n^{esime}}$ dell’unità, è

dove basta dare a ${\displaystyle k}$ gli ${\displaystyle n}$ valori 0, 1, 2, ....., ${\displaystyle n-1}$.

Questa formola mostra che i punti corrispondenti alle ${\displaystyle n}$ radici ${\displaystyle n^{esime}}$ dell’unità sono distribuiti sulla circonferenza avente l’origine per centro e per raggio l’unità, e dividono la circonferenza in ${\displaystyle n}$ parti eguali; vale a dire tali punti sono i vertici di un poligono regolare di ${\displaystyle n}$ lati inscritto in essa.

Basta infatti osservare che i numeri ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\varepsilon _{n}}$, ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$, ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$, ....., ${\displaystyle \varepsilon _{n-1}}$ hanno tutti per modulo l’unità, e che l’argomento di uno qualunque di essi differisce dall’argomento del suo successivo per un angolo uguale a ${\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}}$ radianti, cioè all’${\displaystyle n^{esima}}$ parte di 360° (${\displaystyle 2\pi }$ radianti).