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capitolo iii - § 10

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Si scriva ciascuno dei due radicandi sotto forma trigonometrica, ponendo:

\rho ^{2}={\frac {q^{2}}{4}}+r^{2}=-{\frac {p^{3}}{27}}

,

\cos \theta =-{\frac {q}{2\rho }}

,

\operatorname {sen} \theta ={\frac {r}{\rho }}

;

si avrà:

$y={\sqrt[{3}]{\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )}}+{\sqrt[{3}]{\rho (\cos \theta -i\operatorname {sen} \theta )}}$ .

I tre valori della prima radice cubica sono:

{\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right\}

,

{\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta +2\pi }{3}}\right\}

,

${\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta +4\pi }{3}}\right\}$ .

I tre valori della seconda radice cubica sono:

{\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right\}

,

{\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta +2\pi }{3}}\right\}

,

${\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta +4\pi }{3}}\right\}$ .

Si osservi che ogni valore di $y$ si ottiene sommando un valore del primo radicale con un valore del secondo, scelti in guisa che il loro prodotto sia reale. Si avranno dunque le tre radici:

$y_{1}={\sqrt[{3}]{\rho }}\left\{\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right)+\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-i\operatorname {sen} {\frac {\theta }{3}}\right)\right\}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta }{3}}$

y_{2}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta +2\pi }{3}}

;

y_{3}=2{\sqrt[{3}]{\rho }}\cos {\frac {\theta +4\pi }{3}}

,

dove:

${\sqrt[{3}]{\rho }}={\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}={\sqrt {\frac {|p|}{3}}}$ (perchè $p$ dev’essere negativo).

Queste formole si possono dedurre per via elementare.

Infatti, posto $z={\frac {y}{2{\sqrt[{3}]{\rho }}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {y}{\sqrt {-p}}}$ , l’equazione diventa:

$-4{\frac {2p{\sqrt {-p}}}{3{\sqrt {3}}}}z^{3}+2p{\frac {\sqrt {-p}}{\sqrt {3}}}z+q=0$ ossia:

$4z^{3}-3z-q{\frac {3{\sqrt {3}}}{2p{\sqrt {-p}}}}=0$ .

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