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${\displaystyle \alpha }$) Ricordiamo rapidamente una ben nota formola di calcolo combinatorio.

Sia ${\displaystyle {\binom {n}{h}}}$ il numero delle combinazioni di ${\displaystyle n}$ oggetti ad ${\displaystyle h}$ ad ${\displaystyle h}$, cioè il numero dei modi possibili, in cui possiamo scegliere un gruppo di ${\displaystyle h}$ elementi tra ${\displaystyle n\geq h}$ elementi prefissati.

Per ${\displaystyle h=1}$ è evidentemente ${\displaystyle {\binom {n}{1}}=n}$. Se poi ${\displaystyle G_{h-1}}$ è un gruppo di ${\displaystyle h-1}$ elementi scelti tra i dati, noi potremo dedurne un gruppo ${\displaystyle G_{h}}$ di ${\displaystyle h}$ elementi, aggiungendo a ${\displaystyle G_{h-1}}$ uno dei residui ${\displaystyle n-(h-1)}$ elementi; otteniamo così da ogni ${\displaystyle G_{h-1}}$ proprio ${\displaystyle n-(h-1)}$ gruppi ${\displaystyle G_{h}}$. Operando però in tal modo sui vari ${\displaystyle G_{h-1}}$, otteniamo ogni ${\displaystyle G_{h}}$ precisamente ${\displaystyle h}$ volte, perchè ogni ${\displaystyle G_{h}}$ contiene ${\displaystyle h}$ gruppi ${\displaystyle G_{h-1}}$. Perciò il numero ${\displaystyle {\binom {n}{h}}}$ dei ${\displaystyle G_{h}}$ è uguale al prodotto di ${\displaystyle {\frac {n-(h-1)}{h}}}$ per il numero ${\displaystyle {\binom {n}{h-1}}}$ dei ${\displaystyle G_{h-1}}$. Quindi

${\displaystyle {\binom {n}{1}}=n={\frac {n}{1}}}$; ${\displaystyle {\binom {n}{2}}={\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{1}}={\frac {n(n-1)}{1\cdot 2}}}$;
${\displaystyle {\binom {n}{3}}={\frac {n-2}{3}}{\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}}}$; eccetera
${\displaystyle {\binom {n}{h}}={\frac {n(n-1)(n-2)\dotsb [n-(h-1)]}{\lfloor {\underline {h}}}}}$.	(1)