Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/63

Questa pagina è stata trascritta, formattata e riletta.

polinomii ed equazioni algebriche

47

[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:63|3|0]]

Le quali formole equivalgono alle seguenti che consentono il più semplice e rapido calcolo dei coefficienti $q_{i}$ e del resto $R$

$q_{0}$	$=a_{0}$
$q_{1}$	$=a_{1}+\alpha q_{0}$
$q_{2}$	$=a_{2}+\alpha q_{1}$
	. . . . . .
$q^{8}$	$=a_{8}+\alpha q_{8-1}$
	. . . . . .
$q_{n-1}$	$=a_{n-1}+\alpha q_{n-2}$
$R$	$=a_{n}+\alpha q_{n-1}$ .

Cioè: I primi coefficienti a₀, q₀ sono uguali; e per ${\text{s}}\geq 1$ ogni q_s è uguale al coefficiente omologo a_s aumentato dal prodotto di $\alpha$ per il precedente coefficiente q_s-1. Posto R = q_n, questa proposizione è vera anche per s = n.

Le precedenti formole dimostrano che:

q_{0}=a_{0}

;

q_{1}=a_{0}\alpha +a_{1}

;

q_{2}=a_{0}\alpha ^{2}+a_{1}\alpha +a_{2}

$q_{s}=a_{0}\alpha ^{s}+a_{1}\alpha ^{s-1}+\ldots +a_{s-1}\alpha +a_{s}$

$R=q_{n}=a_{0}\alpha ^{n}+a_{1}\alpha ^{n-1}+\ldots a_{n-1}\alpha +a_{n}$ .

L’ultima delle quali si enuncia così:

Il resto ottenuto nella divisione di un polinomio P(x) per ${\text{x}}-\alpha$ si ottiene scrivendo $\alpha$ al posto della x in P(x). Cosicchè: Il polinomio P(x) è divisibile per ${\text{x}}-\alpha$ allora e allora soltanto che $\alpha$ soddisfa alla ${\text{P}}(\alpha )=0$ , cioè che $\alpha$ è radice dell’equazione ${\text{P}}({\text{x}})=0$ .

Caso particolare di queste formole sono le identità:

$x^{n}-a^{n}=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^{2}x^{n-3}+\ldots +a^{n-2}x+a^{n-1})$

per $n$ intero positivo

e per $m$ intero dispari

$x^{m}+a^{m}=(x+a)(x^{m-1}-ax^{m-2}+a^{2}x^{x-3}-\ldots$

$-a^{m-2}x+a^{m-1})$ .

Se nella penultima formola poniamo $x=1$ , $a=q$ , troviamo

$1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}$ ,

che è una formola ben nota nella teoria delle progressioni geometriche.

Questa voce è stata pubblicata da Wikisource. Il testo è rilasciato in base alla licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo. Potrebbero essere applicate clausole aggiuntive per i file multimediali.