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Ma, poichè ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ sono primi tra loro, ${\displaystyle \alpha ^{n}}$ è primo con ${\displaystyle \beta ,\beta ^{n}}$ con ${\displaystyle \alpha }$. Se ne deduce tosto che ${\displaystyle a_{0}}$ è divisibile per ${\displaystyle \beta ,a_{n}}$ divisibile per ${\displaystyle \alpha }$.                c. d. d.

Ponendo ${\displaystyle \beta =1}$ in questo teorema si ha:

Corollario Le radici intere della nostra equazione a coefficienti interi sono tutte divisori del termine noto ${\displaystyle \mathrm {a_{0}} }$.

Se ${\displaystyle a_{0}=1}$ dal precedente teorema si trae:

Corollario Se ${\displaystyle \mathrm {a_{0}=1} }$, la nostra equazione non può avere radici fratte, ma soltanto al più radici intere.

Questi teoremi riducono a pochi tentativi la ricerca delle radici intere o fratte di una equazione algebrica. E si potrebbero aggiungere altri teoremi dello stesso tipo, che abbrevierebbero ancora la ricerca.

Supponiamo che i coefficienti ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}}$ del polinomio

sieno numeri reali. Ciononostante le radici ${\displaystyle \alpha }$ possono essere numeri complessi (come è ben noto già dalla teoria delle equazioni di secondo grado). Sia ${\displaystyle \beta +i\gamma }$ una tale radice. Sarà

Il numero complesso coniugato sarà pure nullo.

Tale numero si deduce dal precedente cambiando ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle -i}$. Ma questo cambiamento non muta i coefficienti ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$, che sono reali. Dunque questo numero immaginario coniugato, che è ancora nullo, vale:

E questa uguaglianza dimostra che anche ${\displaystyle \beta -i\gamma }$ è radice dell’equazione ${\displaystyle P(x)=0}$.

Tra i fattori lineari ${\displaystyle x-\alpha }$, in cui è decomposto ${\displaystyle P(x)}$ figurano perciò entrambi i fattori ${\displaystyle [x-(\beta +i\gamma )]}$ e ${\displaystyle [x-(\beta -i\gamma )]}$: il cui prodotto è il fattore reale di secondo grado ${\displaystyle p_{1}(x)=(x-\beta )^{2}+\gamma ^{2}=x^{2}-2\beta x+(\beta ^{2}+\gamma ^{2})}$. E il polinomio ${\displaystyle P(x)}$ è divisibile per questo fattore. Il quoziente ${\displaystyle P_{1}(x)}$ sarà ancora polinomio a coefficienti reali. E, se la equazione ${\displaystyle P_{1}(x)=0}$ possiede qualche radice immaginaria (che sarò pure radice di ${\displaystyle P(x)=0}$), allora ${\displaystyle P_{1}(x)}$ sarà ancora divisibile per un polinomio ${\displaystyle p_{2}(x)}$ di secondo grado a coefficienti reali. Sarà perciò ${\displaystyle P_{1}(x)=p_{2}(x)P_{2}(x)}$, e quindi ${\displaystyle P(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)P_{2}(x)}$, dove ${\displaystyle P_{2}(x)}$ è ancora un polinomio. E così via. Se ne deduce:

Ogni polinomio P(x) a coefficienti reali si può scomporre nel prodotto di polinomii di primo o di secondo grado a coeffi-