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${\displaystyle \delta )}$ Vediamo come il problema di trovare le radici ${\displaystyle z=z+iy}$ reali o complesse dell’equazione

a coefficienti ${\displaystyle a_{j}=b_{j}+ic_{j}}$ reali o complessi (${\displaystyle x,y,c_{j},b_{j}}$ numeri reali) si riduca al problema di trovare le radici reali di un’equazione a coefficienti reali. La nostra equazione diventa nelle attuali ipotesi:

Sviluppando ed eseguendo tutte le operazioni, il primo membro si ridurrà in fine al tipo

ove ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle Q}$ saranno polinomii nelle ${\displaystyle x,y}$ a coefficienti reali, onde l’equazione precedente diventerà:

e si scinderà nelle due:

${\displaystyle P(x,y)=0}$

;

${\displaystyle Q(x,y)=0}$.

Siamo così ridotti alla risoluzione di un sistema di due equazioni in due incognite, che si potrà fare col metodo dato in γ. Ogni soluzione reale ${\displaystyle x=x_{0},y=y_{0}}$ di questo sistema dà una radice ${\displaystyle x_{0}+iy_{0}}$ dell’equazione proposta, e viceversa.

1° Dati ${\displaystyle n}$ punti, tra qualunque dei quali non sono mai in linea retta, quante sono le rette che contengono due di tali punti?

Ris. ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{2}}}$.

Ris. ${\displaystyle \textstyle {\binom {90}{5}}}$.

3° Quante sono le estrazioni possibili al gioco del lotto, in cui ${\displaystyle k(k<5)}$ dei numeri estratti sono prefissati a priori?

Ris. Dei 5 numeri estratti, ${\displaystyle k}$ sono prefissati; i restanti ${\displaystyle 5-k}$ devonsi scegliere tra i residui ${\displaystyle 90-k}$ numeri. Il numero cercato è perciò ${\displaystyle \textstyle {\binom {90-k}{5-k}}}$. Per ${\displaystyle k=2,3,4}$ si ottiene il