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capitolo iv — § 17

[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:74|3|0]]si possono dedurre le formole di addizione più generali per calcolare $\cos[a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}]$ e $\operatorname {sen}[a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}]$ .

15° Il lettore deduca in modo analogo dalla

$\cos ^{r}x\operatorname {sen} ^{s}x=k\left\{[\cos x+i\operatorname {sen} x]+[\cos x-i\operatorname {sen} x]\right\}^{r}\cdot$

$\cdot \left\{[\cos x+i\operatorname {sen} x]-[\cos x-i\operatorname {sen} x]\right\}^{s}$

$\left({\frac {1}{k}}=2^{r+s}i^{s}\right)$

che $\cos ^{r}x\operatorname {sen} ^{s}x$ si può esprimere come funzione lineare di seni e di coseni di multipli dell’angolo $x$ .

16° Dimostrare che

$i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i,i^{4n}=1$ ,

per tutti i valori dell’intero $n$ .

17° Cacolare

{\sqrt {i}}

.

Ris. È $i=1\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\operatorname {sen} {\frac {\pi }{2}}\right)$ . Quindi $\pm {\sqrt {i}}=\cos {\frac {\pi }{4}}+i\operatorname {sen} {\frac {\pi }{4}}$ .

18° calcolare per via trigonometrica

{\sqrt[{n}]{1+i}},{\sqrt[{n}]{i}},{\sqrt[{n}]{i}},{\sqrt[{n}]{-1}}

, per ogni valore dell’intero positivo

n

.

19° Porre sotto forma trigonometrica i numeri

$2+2{\sqrt {-3}},{\frac {2+3i}{3+2i}},5+5i$ .

20° Calcolare per via trigonometrica le radici

n^{esime}

di

\pm 1

per

n=1,2,3,4,5,6

.

21° Semplificare le espressioni

${\frac {2+5i}{3+{\sqrt {-3}}}}+{\frac {2-5i}{3-{\sqrt {-3}}}};{\frac {1+i}{2+{\sqrt {-5}}}}-{\frac {1-i}{2-{\sqrt {-5}}}};$

${\frac {3}{5+6i}}+{\frac {3}{5-6i}};{\frac {1+i}{2+{\sqrt {-4}}}}+{\frac {1+i}{2-{\sqrt {-4}}}};$

${\frac {1+i}{2+{\sqrt {-4}}}}{\frac {1-i}{2-{\sqrt {-4}}}};{\frac {1+i}{2-3i}};{\frac {2+3i}{1-i}};$

$3(x+iy)^{3}+3(x-iy)^{3}+4i(x+iy)^{2}-4i(x-iy)^{2}$ .

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