[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:88|3|0]]somma di più quantità, qualche termine si può scomporre nella somma di parecchi, eccetera).

Teorema X. Sono poi immediate le seguenti proposizioni:

a) Se tutti gli elementi di una stessa linea sono nulli, il determinante è nullo.

b) Se tutti gli elementi posti da una stessa banda della diagonale principale sono nulli, il determinante si riduce al termine principale.

c) Un determinante di ordine n si può trasformare in un determinante uguale di ordine ${\displaystyle \mathrm {n+1} }$, premettendo una riga ed una colonna, purchè gli elementi dell’una e dell’altra siano tutti nulli, eccettuato il primo che sia uguale all’unità.

Così, per esempio

Teorema I Un termine T di un determinante D di ordine n è (a meno del segno) prodotto P di n elementi, due dei quali non appartengono nè alla stessa riga, nè alla stessa colonna.

Ciò è evidente per ${\displaystyle n=2}$; come sopra ammettiamo il teorema per determinanti di ordine ${\displaystyle n-1}$. Un termine ${\displaystyle T}$ di ${\displaystyle D}$ è il prodotto di un elemento ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle D}$ per un termine ${\displaystyle T'}$ del complemento algebrico ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle a}$. Poichè il teorema è ammesso per i termini ${\displaystyle T'}$di ${\displaystyle A}$ (che è un determinante d’ordine ${\displaystyle n-1}$) e poichè gli elementi di ${\displaystyle A}$ appartengono a righe e colonne distinte dalle due linee, cui appartiene ${\displaystyle a}$, il termine ${\displaystyle T=aT'}$ di ${\displaystyle D}$ godrà pure delle proprietà enunciate.

Teorema II. Viceversa un prodotto P di n elementi di D, due dei quali non appartengono nè alla stessa riga nè alla stessa colonna, è, a meno del segno, un termine T di D.

(Dimostrazione analoga alla precedente).

Per quanto riguarda i segni si può poi dimostrare:

Teorema III. Se gli elementi di P si possono portare sulla diagonale principale con k trasposizioni di righe o di colonne, allora ${\displaystyle \mathrm {T} =(-1)^{k}\mathrm {P} }$, (cioè ${\displaystyle T=P}$ se ${\displaystyle k}$ è pari, ${\displaystyle T=-P}$ se ${\displaystyle k}$ è dispari).

Per esempio il termine ${\displaystyle b_{1}c_{2}a_{3}}$ di ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{2}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}=D}$ si porta sulla diagonale principale trasponendo, per esempio, dapprima le colonne prima e seconda, e poi le colonne che (dopo la precedente trasposizione) si trovano al 2° e 3° posto. pertanto è ${\displaystyle k=2}$, e ${\displaystyle +b_{1}c_{2}a_{3}}$ è perciò un termine ${\displaystyle T}$ di ${\displaystyle D}$.

Le trasposizioni con un un termine si porta nella diagonale principale si possono scegliere in modo molteplice; dal teorema III segue però che, se con un metodo occorre un numero, per esempio, pari di trasposizioni, con ogni altro metodo il numero delle trasposizioni necessarie sarà ancora pari.