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2. Congiungansi i dati punti ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ ad un arbitrario punto ${\displaystyle o}$ situato fuori della retta ${\displaystyle ab}$ (fig. 1.ª), cioè formisi un fascio ${\displaystyle o(a,b,c,d)}$ di quattro rette che passino rispettivamente per ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ e tutte concorrano nel centro ${\displaystyle o}$. I triangoli ${\displaystyle aoc,\,cob}$ danno:

Fig.ª 1ªFig.ª 1ª

Similmente dai triangoli ${\displaystyle aod,dob}$ si ricava:

epperò:

ovvero, indicando con ${\displaystyle \mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D} }$ le quattro direzioni ${\displaystyle o(a,b,c,d)}$ e con ${\displaystyle \mathrm {AC} ,\,\mathrm {CB} ,\dots }$ gli angoli da esse compresi:

eguaglianza che scriveremo simbolicamente così:

All’espressione del secondo membro di quest’equazione si dà il nome di rapporto anarmonico delle quattro rette ${\displaystyle \mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D} }$. Dunque: il rapporto anarmonico di quattro rette ${\displaystyle \mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D} }$ concorrenti in un centro ${\displaystyle \mathrm {o} }$ è eguale al rapporto anarmonico de’ quattro punti ${\displaystyle \mathrm {a} ,\,\mathrm {b} ,\,\mathrm {c} ,\,\mathrm {d} }$ in cui esse sono incontrate da una trasversale. Per conseguenza, se le quattro rette ${\displaystyle \mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D} }$ sono segate da un’altra trasversale in ${\displaystyle a',\,b',\,c',\,d'}$, il rapporto anarmonico di questi nuovi punti sarà eguale a quello de’ primi ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$. E così pure se i punti ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ vengono uniti ad un altro centro ${\displaystyle o'}$ mediante quattro rette ${\displaystyle \mathrm {A} ',\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {C} ',\,\mathrm {D} '}$, il rapporto anarmonico di queste sarà eguale a quello delle quattro ${\displaystyle \mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D} }$.

3. Dati quattro punti ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ in linea retta e tre altri punti ${\displaystyle a',\,b',\,c'}$ in un’altra

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