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| intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria. | 23 |
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Affinchè il punto:
U + iV = 0
divida la distanza fra i due:
U + hV = 0, U + kV = 0
in parti tali che stiano fra loro come m : n, deve aversi:
ove A e B sono rispettivamente i risultati ottenuti col porre x = y = z = 1 nelle funzioni lineari U e V. Posto per i il suo valore, dopo alcune facili riduzioni, l’equazione precedente diviene:
B (BU — AV) = 0.
L’equazione:
B = 0
ossia la:
a (b — c) x' + b (c — a) y' + c (a — b) z' = 0
dà la soluzione richiesta. L’altra equazione:
BU — AV = 0
ossia la:
(cz' — by') x + (ax' — cz') y + (by' — ax') z = 0
dà:
ax' = by' = cz'
caso particolare della B = 0.
L’equazione B = 0 rappresenta un punto situato a distanza infinita. Dunque le rette richieste sono parallele alla:
ax' = by' = cz'
cioè a quella retta della prima figura che ha la sua omologa a distanza infinita.
Così è dimostrato il seguente teorema, reciproco di uno notissimo dell’illustre geometra Chasles (Traité de Géométrie Supérieure, pag. 365):
In ciascuna figura le sole rette, che colle rispettive omologhe sono divise dai punti omologhi in parti proporzionali, sono le parallele a quella che ha la sua omologa nell’altra figura situata a distanza infinita.