[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:420|3|0]]

103. Se un punto, considerato come polo rispetto alla curva fondamentale ${\displaystyle {\rm {C_{n}}}}$, percorre un’altra curva data ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$ d’ordine ${\displaystyle m}$, la retta polare inviluppa una curva ${\displaystyle {\rm {K}}}$, la quale abbiamo già trovato (81) essere della classe ${\displaystyle m(n-1)}$. Le tangenti che da un punto qualunque ${\displaystyle o}$ si possono condurre a ${\displaystyle {\rm {K}}}$ sono le rette polari degli ${\displaystyle m(n-1)}$ punti, ne’ quali ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$ è intersecata dalla prima polare di ${\displaystyle o}$.

(a) Se ${\displaystyle o}$ è tal punto che la sua prima polare sia tangente a ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$, due rette polari passanti per ${\displaystyle o}$ sono coincidenti, cioè ${\displaystyle o}$ è un punto della curva ${\displaystyle {\rm {K}}}$ (30); questa è dunque il luogo geometrico de’ poli le cui prime polari toccano ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$. Questa proprietà ci mette in grado di trovare l’ordine di ${\displaystyle {\rm {K}}}$, cioè il numero de’ punti in cui ${\displaystyle {\rm {K}}}$ è incontrata da una retta arbitraria ${\displaystyle {\rm {L}}}$. Le prime polari de’ punti di ${\displaystyle {\rm {L}}}$ formano un fascio (77); onde, supposto che ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$ abbia ${\displaystyle \delta }$ punti doppi, e ${\displaystyle \chi }$ cuspidi, vi saranno ${\displaystyle m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )}$ punti in ${\displaystyle {\rm {L}}}$, le cui prime polari sono tangenti a ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$ (87, c). Dunque ${\displaystyle {\rm {K}}}$ è dell’ordine ${\displaystyle m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )}$ {cioè ${\displaystyle 2m(n-2)+\mathrm {M} }$, ove ${\displaystyle {\rm {M}}}$ è la classe di ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$}⁸³.

È poi evidente che le tangenti stazionarie di ${\displaystyle {\rm {K}}}$ sono le rette polari de’ punti stazionari di ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$; donde segue che ${\displaystyle {\rm {K}}}$ ha ${\displaystyle \chi }$ flessi.

Conoscendo così la classe, l’ordine ed il numero de’ flessi della curva ${\displaystyle {\rm {K}}}$, mediante le formule di Plücker (99, 100) troveremo che essa ha inoltre:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )\right)^{2}-m(5m+6n-21)+10\delta +{\frac {27}{2}}\chi }$ punti doppi,

${\displaystyle 3m(m+n-4)-(6\delta +8\chi )}$ cuspidi e ${\displaystyle {\frac {1}{2}}m(n-2)(mn-3)+\delta }$ tangenti doppie.

(b) È manifesto che ogni punto doppio di ${\displaystyle {\rm {K}}}$ è il polo di una prima polare tangente a ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$ in due punti distinti; che ogni cuspide di ${\displaystyle {\rm {K}}}$ è il polo di una prima polare avente con ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$ un contatto tripunto; e che ogni tangente doppia di ${\displaystyle {\rm {K}}}$ è una retta avente o due poli distinti sulla curva ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$, o due poli riuniti in un punto doppio di questa curva.

Siccome le proprietà del sistema delle prime polari (relative a ${\displaystyle {\rm {C_{n}}}}$) valgono per una rete qualsivoglia di curve⁸⁴, così da quanto precede si raccoglie:

1.º Il numero delle curve d’una rete d’ordine ${\displaystyle n-1}$, le quali abbiano doppio contatto con una data linea d’ordine ${\displaystyle m}$, fornita di ${\displaystyle \delta }$ punti doppi e ${\displaystyle \chi }$ cuspidi, è