[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:443|3|0]]punti, che sono i poli d’altrettante prime polari aventi i punti doppi nelle intersezioni della curva data coll’Hessiana.

Se ${\displaystyle m=1}$, abbiamo:

Una retta arbitraria ${\displaystyle {\rm {R}}}$ sega l’Hessiana in ${\displaystyle 3(n-2)}$ punti, che sono doppi per altrettante prime polari; i poli di queste sono i punti di contatto fra la Steineriana e l’${\displaystyle (n-1)}$^ma polare di ${\displaystyle {\rm {R}}}$.

Ed è evidente che:

Se ${\displaystyle {\rm {R}}}$ è una tangente ordinaria dell’Hessiana, l’${\displaystyle (n-1)}$^ma polare di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ avrà colla Steineriana un contatto quadripunto e ${\displaystyle 3n-8}$ contatti bipunti.

Se ${\displaystyle {\rm {R}}}$ è una tangente stazionaria dell’Hessiana, l’${\displaystyle (n-1)}$^ma polare di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ avrà colla Steineriana un contatto sipunto e ${\displaystyle 3(n-3)}$ contatti bipunti.

E se ${\displaystyle {\rm {R}}}$ è una tangente doppia dell’Hessiana, l’${\displaystyle (n-1)}$^ma polare di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ avrà colla Steineriana due contatti quadripunti e ${\displaystyle 3n-10}$ contatti bipunti.

123. La prima polare di un punto ${\displaystyle o}$ rispetto alla prima polare di un altro punto ${\displaystyle o'}$, ossia, ciò che è la medesima cosa (69, c), la prima polare di ${\displaystyle o'}$ rispetto alla prima polare di ${\displaystyle o}$, si è da noi chiamata per brevità (116) seconda polare mista de’ punti ${\displaystyle oo'}$. Avuto riguardo a questa denominazione, la seconda polare del punto ${\displaystyle o}$, cioè la prima polare di ${\displaystyle o}$ rispetto alla prima polare di ${\displaystyle o}$ (69, b) può anche chiamarsi seconda polare pura del punto ${\displaystyle o}$.

Se la seconda polare mista de’ punti ${\displaystyle oo'}$ passa per un punto ${\displaystyle a}$, la retta polare di ${\displaystyle o}$ relativa alla conica polare di ${\displaystyle a}$ passa per ${\displaystyle o'}$ (69, d); dunque (108):

La seconda polare mista di due punti ${\displaystyle oo'}$ è il luogo di un punto rispetto alla conica polare del quale i punti ${\displaystyle oo'}$ siano poli coniugati.

Ond’è che, data una retta ${\displaystyle {\rm {R}}}$, se in essa assumonsi due punti ${\displaystyle oo'}$ i quali siano coniugati rispetto alla conica polare di un punto ${\displaystyle a}$, la seconda polare mista di ${\displaystyle oo'}$ passerà per ${\displaystyle a}$. Le coppie di punti in ${\displaystyle {\rm {R}}}$, coniugati rispetto alla conica suddetta, formano un’involuzione i cui punti doppi ${\displaystyle ef}$ sono le intersezioni della conica colla retta (108). I punti ${\displaystyle ef}$ sono pertanto i poli di due seconde polari pure passanti per ${\displaystyle a}$.

Di qui s’inferisce che, affinchè una seconda polare mista, i cui poli ${\displaystyle oo'}$ giacciano in ${\displaystyle {\rm {R}}}$, passi per ${\displaystyle a}$, è necessario e sufficiente che ${\displaystyle oo'}$ dividano armonicamente il segmento ${\displaystyle ef}$; vale a dire: se ${\displaystyle oo'ef}$ sono quattro punti armonici, la seconda polare mista di ${\displaystyle oo'}$ passa pei poli di tutte le coniche polari contenenti i punti ${\displaystyle ef}$. Ora, quando una