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Le esperienze da cui nasce il concetto del numero sono relative a gruppi o classi di oggetti (elementi) la cui natura è affatto arbitraria; il solo requisito è che si tratti di oggetti individuabili, cioè che non variino o sfumino o si confondano fra loro durante l’esperienza. Ai bambini si offrono a tal uopo vari esempi: dita, noci, mele, sassi, lapis, uomini ecc.

Vi sono d’altronde due serie di esperienze elementari che corrispondono all’uso diverso dei numeri cardinali e dei numeri ordinali.

2. Numeri cardinali. ― Per definire i numeri cardinali si parte dalle esperienze seguenti:

Si abbiano due classi di oggetti dati (intendo dati materialmente davanti agli occhi):

${\displaystyle (a)=(a_{1}\,a_{2}\,\dots )}$

${\displaystyle (b)=(b_{1}\,b_{2}\,\dots )}$

Cerchiamo di associare ad ogni elemento della prima classe un elemento della seconda, riunendo materialmente gli elementi associati o ponendo un contrassegno che valga a riunirli idealmente nella nostra mente; se l’associazione suddetta si può porre in modo che viceversa ogni oggetto della seconda classe risulti così associato ad uno della prima senza eccezione, si ha fra gli elementi delle due classi (o, come si dice anche, fra le due classi) una corrispondenza biunivoca; diremo allora che le due classi ${\displaystyle (a)\,(b)}$ sono equivalenti e scriveremo

L’equivalenza fra classi di oggetti soddisfa alle tre proprietà fondamentali che seguono:

1) Proprietà riflessiva:

${\displaystyle (a)=(a).}$

Basta associare ad ogni elemento di ${\displaystyle (a)}$ se stesso.

2) Proprietà simmetrica:

se	${\displaystyle (a)=(b)}$.
	${\displaystyle (b)=(a)}$.

Infatti l’associazione di due elementi ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, è un’operazione mentale simmetrica, cioè indipendente dall’ordine in cui si considerano i due elementi associati.