[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Scientia - Vol. IX.djvu{{padleft:17|3|0]]

In tale ipotesi:

si può porre una determinata corrispondenza ordinata (completa o parziale) fra le serie ${\displaystyle (a)}$ e ${\displaystyle (b)}$, ed in questa all’elemento ${\displaystyle a_{n}}$, corrisponde un determinato elemento ${\displaystyle b_{n}}$, di ${\displaystyle (b)}$;

si può porre analogamente una determinata corrispondenza ordinata (completa o parziale) fra le serie ${\displaystyle (a)}$ e ${\displaystyle (c)}$, ed in questa ad ${\displaystyle a_{n}}$ corrisponde un determinato elemento ${\displaystyle c_{n}}$.

Ebbene: se si confrontano le serie ${\displaystyle (b)}$ ${\displaystyle (c)}$ ponendo tra di esse la corrispondenza ordinata (completa o parziale), in questa all’elemento ${\displaystyle b_{n}}$ corrisponde l’elemento ${\displaystyle c_{n}}$.

In forza di questa proprietà si può porre la seguente

Def. - Elementi di due serie che si corrispondono in una corrispondenza ordinata si dicono di uguale posto.

Questa relazione gode delle proprietà di un’uguaglianza (riflessica, simmetrica e transitiva).

Diventa quindi possibile classificare gli elementi di quante si vogliano serie ponendo in una medesima classe tutti gli elementi di ugual posto (e arrestando la classificazione alla serie minima). Nel quadro seguente si vedono appunto costruite le classi ${\displaystyle K_{1}\;K_{2}\ldots K_{n}}$ i cui elementi, disposti sopra una verticale, appartengono alla serie ${\displaystyle (a)\;(b)\;(c)\ldots }$ ed occupano in esse ugual posto:

${\displaystyle K_{1}}$    ${\displaystyle K_{2}}$       ${\displaystyle K_{n}}$    ${\displaystyle (a)=}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$    ${\displaystyle \ldots }$    ${\displaystyle a_{n}}$    ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle (b)=}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle b_{n}}$    ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle (c)=}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \ldots }$ ${\displaystyle c_{n}}$    ${\displaystyle \ldots }$

Il concetto astratto dell’elemento della classe ${\displaystyle K_{n}}$ si dice numero d’ordine dell’elemento ${\displaystyle a_{n}}$ nella serie ${\displaystyle (a)}$, ed ugualmente numero d’ordine di ${\displaystyle b_{n}}$ in ${\displaystyle (b)}$ ecc.

Questo numero (ordinale) è il segno del posto di ${\displaystyle a_{n}}$, e di tutti gli elementi di ugual posto nelle serie considerate.

5.- Confronto fra numeri cardinali e numeri ordinali.

Ad ogni numero ordinale ${\displaystyle ({\phantom {}}_{n})}$, connotante il posto di ${\displaystyle a_{n}}$ nella serie

${\displaystyle a_{1}\;a_{2}\;\ldots a_{n}\ldots }$

corrisponde un numero cardinale, cioè quello che designa il numero degli oggetti della classe

${\displaystyle (a_{1}\;a_{2}\;\ldots a_{n})}$