[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Scientia - Vol. IX.djvu{{padleft:20|3|0]]donde segue un’immensa difficoltà pratica per ottenere siffatte verifiche, quando non si voglia ricorrere all’opera simultanea di varî uomini.

Ma una simile impresa, volta alla diretta verificazione delle proprietà aritmetiche dei grandi numeri, non è stata mai tentata — che si sappia — dalla società umana; e nondimeno l’uso dei numeri superiori ad 1 miliardo ricorre di frequente anche in faccende pratiche, p. es. nel bilancio dei grandi Stati moderni, e l’applicazione delle proprietà fondamentali dei numeri non solleva alcun dubbio.

Bisogna dunque ammettere che la conoscenza di cui si tratta non deriva dalla pura esperienza bruta del conteggio su classi di oggetti.

Ed invero se l’intelligenza di certi animali o dei selvaggi può essere misurata dal numero massimo cui essa può giungere, per l’uomo civile non esiste alcun massimo nella serie dei numeri. La nostra mente supplisce alle esperienze effettuate con esperienze immaginate, la cui possibilità di ripetizione indefinita ci porge la costruzione ideale di una serie infinita di numeri.

Dunque il fondamento dell’Aritmetica si trova non soltanto nelle esperienze elementari sulle classi di oggetti materialmente dati, ma anche nella facoltà della mente di immaginare esperienze più estese e predeterminarne il resultato mercè la combinazione e ripetizione di processi già esperiti.

Da questa osservazione si passa naturalmente a discutere la seconda domanda enunciata di sopra:

Fino a che punto è necessario operare sopra oggetti e gruppi di oggetti materialmente dati? Si può fondare l’Aritmetica senza ricorrere al mondo esterno, col semplice esame riflesso del nostro pensiero?

È chiaro anzitutto che la natura degli oggetti su cui si esperimenta è all’atto indifferente al resultato delle esperienze elementari che sottostanno al concetto di numero; è anche indifferente che si ricorra ad esperienze visive, auditive o tattili ecc. Non vi è quindi difficoltà ad ammettere che si possa anche ricorrere semplicemente ad esperienze mentali. Un uomo, dotato di sufficiente forza di astrazione, il quale sia cieco-sordo-muto e paralizzato, può pensare degli oggetti anche senza immaginarli in modo preciso, e operare con associazioni e astrazioni puramente ideali sopra classi di oggetti