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Si ha così una corrispondenza fra A e A’’ parte di A’, cioè una corrispondenza univoca similare fra A, A’, che non è invertibile per gli elementi di A’-A"; si tratta di porre una corrispondenza biunivoca fra A ed A’, e per ciò basterà determinare una parte C di A’ in tal guisa che togliendo C da A e da A’ rimanga una corrispondenza univoca, invertibile, ossia biunivoca, fra A-C e A’-C; infatti, ponendo allora in C la corrispondenza identica, si avrà una corrispondenza biunivoca fra A ed A’. Ora la possibilità di determinare la classe o nel modo anzidetto, risulta dal seguente

Lemma. — Se si ha una corrispondenza univoca, similare fra una classe A ed una sua parte A’, cioè una corrispondenza, biunivoca tra A ed una parte A’’ di A’, si può sempre determinare una parte C di A’ tolta la quale rimanga una corrispondenza biunivoca fra A-C ed A’-C.

Si indichi con ${\displaystyle \pi }$ la corrispondenza data fra A’’ e A, e si consideri l’insieme degli elementi P di A’’ a cui corrisponde in ${\displaystyle \pi ^{r}}$ ${\displaystyle (r=1,2\ldots )}$ un elemento di A’-A’’; l’insieme di questi P preso insieme ad A’-A’’ costituisce la classe C che volevasi determinare.

Il teorema di Bernstein permette di distinguere i seguenti casi nel confronto di due classi infinite A e B:

1.° le due classi sono equivalenti; in tal caso si dice che esse hanno uguale potenza;

2.° le due classi non sono equivalenti, ed una di esse, p. es., A, è prevalente all’altra B; in tal caso si dice che la potenza di A, è maggiore di quella di B;

3.° le due classi non sono comparabili nel senso che non si sa porre una corrispondenza fra l’una e l’altra, o fra una di esse e una parte dell’altra.

Quest’ultima eventualità, che non sembra potersi escludere, implica una limitazione della teoria delle potenze di Cantor: si suppone sempre di riferirsi a classi comparabili, che dieno luogo ad uno dei giudizi 1), 2).

La prima classe infinita che viene considerata da Cantor è quella (di minima estensione) costituita dai numeri naturali: ${\displaystyle 1,2,3\ldots n\ldots }$ — . Ogni classe i cui elementi si possono far corrispondere ai numeri naturali si dice numerabile. Tutte le classi numerabili hanno la stessa potenza, che è la potenza minima che possa appartenere ad una classe infinita.

Cantor dimostra poi che la classe dei punti di un segmento