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Cantor chiama bene ordinata una serie che soddisfa al seguente requisito:

3) la serie ha un primo elemento, ed ogni serie contenuta nella data come parte ha sempre un primo elemento.

Questa proprietà è legata coll’esistenza di un successivo immediato. Si ha infatti il teorema:

In una serie bene ordinata ogni elemento, che non sia ultimo, ha un successivo immediato.

Sia ${\displaystyle a}$ un elemento (non ultimo) di una serie bene ordinata; gli elementi successivi ad ${\displaystyle a}$ formano una serie, parte della data, che è come questa bene ordinata, e quindi ha un primo elemento, ${\displaystyle b}$; ${\displaystyle b}$ è successivo immediato di ${\displaystyle a}$.

Nota — Il teorema anzidetto non è invertibile. P. es., nella serie,

${\displaystyle \displaystyle {1,1\,{\frac {1}{2}},1\,{\frac {3}{4}}\ldots ,\ldots 2\,{\frac {1}{4}},2\,{\frac {1}{2}},3,}}$

ogni elemento ha un successivo immediato, ma pure la parte

${\displaystyle \displaystyle {\ldots 2\,{\frac {1}{4}},2\,{\frac {1}{2}},3,}}$

non possiede primo elemento.

Ora possiamo trovare un criterio distintivo delle serie finite dalle infinite; esso è dato dal seguente

Teorema di Pieri. Una serie è finita se è bene ordinata insieme alla sua inversa.

Si abbia la serie bene ordinata:

${\displaystyle S=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\ldots$ ;}

se essa non è finita contiene la serie numerata

${\displaystyle s=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\ldots a_{n}\ldots }$

corrispondente a tutti i valori di ${\displaystyle n}$, sia che esistano dopo gli elementi di questa serie altri elementi oppur no; in ogni modo ${\displaystyle s}$ è parte di ${\displaystyle S}$. Ma se prendiamo gli elementi di ${\displaystyle S}$, e quindi di ${\displaystyle s}$, nell’ordine inverso, la serie ${\displaystyle S}$ così ottenuta non è bene ordinata, perchè contiene una parte (${\displaystyle s}$) senza primo elemento.

10. - Il principio d’induzione matematica e i numeri transfiniti. - Si abbia una relazione qualsiasi ${\displaystyle R}$, dipendente da un numero ${\displaystyle x}$; se questa relazione è verificata per ${\displaystyle x=1}$,