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Ma si ha ancora una proprietà caratteristica delle serie infinite che possono porsi in corrispondenza ordinata colla serie dei pensieri e quindi colla serie dei numeri naturali

${\displaystyle 1,2,3\ldots n\ldots }$

Invero si consideri una serie infinita, bene ordinata, ${\displaystyle S}$, il cui termine generale, ordinatamente corrispondente al numero ${\displaystyle n}$ della serie ${\displaystyle 1,2,3\ldots n\ldots }$ si possa designare con ${\displaystyle n}$.

Osserviamo che essendo data una relazione

${\displaystyle R(x)=0}$

tutti i numeri ${\displaystyle x}$ che la verificano (supposto che ce ne sia qualcuno) formano una classe. Quindi si può enunciare il principio d’induzione come segue:

Se una classe C contiene il primo elemento (${\displaystyle x=1}$) della data serie S, e se dall’ipotesi che essa contenga un qualsiasi elemento (${\displaystyle x=n}$) di S, si deduce che contiene ancora il suo successivo immediato (${\displaystyle x=n+1}$), la classe C contiene tutti gli elementi di S (Peano).

Questo principio appunto distingue la serie dei numeri (o quelle che sono con essa in corrispondenza ordinata) da altre possibili serie bene ordinate come p. es. la seguente:

${\displaystyle \displaystyle {1,1\,{\frac {1}{2}},1\,{\frac {3}{4}},1\,{\frac {7}{8}}\ldots 2\ldots }}$

Infatti è chiaro che una serie bene ordinata per cui valga il postulato di Peano, si può porre in corrispondenza biunivoca ordinata colla serie dei numeri naturali

${\displaystyle 1,2,3\ldots n\ldots }$

Ora la considerazione di serie bene ordinate non soddisfacenti al postulato di Peano, conduce sud estendere il concetto ordinario dei numeri ordinali, considerando numeri ordinali infiniti: tali sono i numeri transfiniti di G. Cantor.

Si abbia una serie bene ordinata, ${\displaystyle S}$, che non soddisfi al postulato di Peano; allora vi sono in essa degli elementi successivi a quelli che portano un qualsiasi numero d’ordine ${\displaystyle n}$ per quanto grande; la serie di tali elementi, ${\displaystyle S}$, (successivi alla serie ${\displaystyle 1,2,3\ldots }$) è una parte di ${\displaystyle S}$, e perciò possiede un primo elemento ${\displaystyle \omega }$; il successivo di ${\displaystyle \omega }$ si può designare con ${\displaystyle \omega +1}$ e così via.