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Comunque, resterebbe sempre l’alternativa tra la geometria euclidea e quella di Lobacefski.

L’ultima parola spetta ai fatti. E Gauss e Lobacefski, profittando l’uno di dati geodetici e l’altro di dati astronomici, hanno saputo farli parlare.

È a tutti familiare come nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo rettilineo sia uguale a due retti. Questo teorema non sussiste nelle geometrie non euclidee. In quella di Riemann la somma stessa è maggiore di due retti, in quella di Lobacefski ne è minore. Si ha quindi, in questi casi, una differenza non nulla tra la somma dei tre angoli e due retti. Il rapporto tra questa differenza e l’area del triangolo, è un numero indipendente dal triangolo considerato. Si chiama curvatura dello spazio. Neil’ipotesi euclidea la curvatura è nulla, nell’ipotesi di Eiemann positiva, in quella di Lobacefski negativa. Orbene, Gauss e Lobacefski son pervenuti a questa conclusione: che la curvatura dello spazio, se mai non fosse nulla, differirebbe da zero di un numero inferiore all’ordine di approssimazione consentitoci per ora nelle esperienze, cosicchè, allo stato attuale, essa deve ritenersi positivamente nulla.

Ho accennato alla necessità di stabilire a priori la coerenza logica delle geometrie non euclidee.

Mi trattengo brevemente su ciò, limitando il discorso alla geometria a due dimensioni.

Ecco qua un pezzo di stoffa inestendibile, su cui è tracciata una linea A B; e un cilindro il cui raggio è abbastanza grande rispetto all’ampiezza della tela. Senza alcuna duplicatura io posso applicare la stoffa sul piano del tavolo e successivamente sul cilindro. La linea A B, che nel primo caso si era adattata lungo una retta, nel secondo caso ci apparisce incurvata. Tuttavia, passando dal piano al cilindro, io non ho affatto alterato la lunghezza della linea, la quale, anche sopra il cilindro, segna dunque la minima distanza tra i due estremi A, B.

Le rette del pezzo di piano che potevo ricoprire colla tela, si trasformano in tal modo — come la linea A B — in linee di minima distanza, o geodetiche, del pezzo corrispondente di superficie cilindrica.