[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:19|3|0]]

17. Il criterio del num. 1 è generale; però la sua applicazione potrebbe riuscire laboriosa quando i termini di ${\displaystyle \sum u_{n}}$ fossero dei prodotti nei quali il numero dei fattori va continuamente aumentando. È utile per ciò di trasformarlo in un altro che sia di più facile applicazione in questo caso.

Per questo si prenda intanto ${\displaystyle k_{n}=\varphi (n)u_{n}}$, essendo ${\displaystyle \varphi (n)}$ una funzione tale che ${\displaystyle \lim \varphi (n)u_{n}=0}$. Allora si avrà

e il teorema del numero 1, diverrà appunto il teorema di Kummer, cioè si avrà che:

Essendo ${\displaystyle \varphi ({\rm {n)}}}$ una funzione di ${\displaystyle {\rm {n}}}$ tale che ${\displaystyle \lim \varphi ({\rm {n){\rm {{u_{n}}=0}}}}}$, la serie ${\displaystyle \sum {\rm {u_{n}}}}$ sarà convergente se

e sarà divergente se

18. Arrestiamoci più specialmente sulla prima parte di questo teorema: e senza occuparci ora della condizione ${\displaystyle \lim \varphi (n)u_{n}=0}$ supponiamo che ${\displaystyle \varphi (n)}$ sia una tale funzione che la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ sia divergente; in questo caso, se per una serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ si troverà che l’espressione

ha un limite negativo o è sempre negativa fuori del limite, ciò vorrà dire che ${\displaystyle \sum u_{n}}$ sarà divergente, giacchè in ambedue i casi a partire da un certo valore di ${\displaystyle n}$ sino all’infinito si avrà