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ulisse dini

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e quindi, quando

F(n)

sia sempre positiva, siccome

R_{n}

è pure positiva, si avrà necessariamente

$\lim\{F(n)+F(n+1)+\cdots \}=0,\quad \lim R_{n}=0$ ,

e la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente.

Ora, evidentemente $F(n)$ , col crescere di $n$ , si manterrà sempre positiva quando a partire da un certo valore di $n$ sino all'infinito si avrà

${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}>a$ ,

ovvero

${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}>0$ ,

poichè $a$ è arbitraria; dunque se ne può intanto concludere che la serie $\sum u_{n}$ sarà convergente tutte le volte che l'espressione

${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$ ,

per $n=\infty$ , avrà un limite differente da zero.

Se questa espressione tenderà verso lo zero, la serie $\sum u_{n}$ potrà essere divergente, anzi la divergenza non potrà avvenire che in questo caso, poiché $k_{n}$ è per ipotesi decrescente, e quindi l'espressione ${\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$ non può mai essere negativa. Per avere un criterio anche in questo caso si ponga

$h_{n}={\frac {k_{n}-k_{n+1}}{u_{n+1}}}$ ,

$h_{n}$ tenderà a zero, mantenendosi sempre positiva. Si moltiplichi ora tutto per $u_{n+1}$ e si cangi $n$ in $n+1,n+2,\ldots$ e si sommi; si troverà

$h_{n}u_{n+1}+h_{n+1}u_{n+2}+\cdots =k_{n}$ ,

ovvero

${\frac {k_{n}}{h_{n}}}=u_{n+1}+{\frac {h_{n+1}}{h_{n}}}u_{n+2}+{\frac {h_{n+2}}{h_{n}}}u_{n+3}+\cdots$

Ora, siccome $h_{n}$ tende a zero col crescere di $n$ , così i rapporti

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