[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:20|3|0]]

ciò che mostra appunto che ${\displaystyle \sum u_{n}}$ è divergente.

Da questo e dal teorema precedente risulta dunque intanto che: Essendo ${\displaystyle \varphi ({\rm {n)}}}$ una funzione positiva di ${\displaystyle {\rm {n}}}$ tale che la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ sia divergente, la serie ${\displaystyle \sum {\rm {u_{n}}}}$ sarà divergente se l’espressione

avrà un limite negativo, e anche se tendendo a zero sarà sempre negativa fuori del limite; e sarà convergente se oltre ad aversi ${\displaystyle \lim \varphi ({\rm {n){\rm {{u_{n}}=0}}}}}$, si avrà altresì

Il dubbio si presenterà quando ${\displaystyle h_{n}}$ tenderà a zero mantenendosi sempre positiva fuori del limite, e quando il segno di ${\displaystyle \lim h_{n}}$ sarà indeterminato. Quest’ultimo caso sarà assai raro e si presenterà soltanto quando ${\displaystyle \varphi (n)u_{n}}$ avvicinandosi al suo limite sarà or crescente or decrescente col crescere di ${\displaystyle n}$ per valori interi: qui però questo caso si intenderà sempre escluso dalle nostre considerazioni.

19. Dico ora che la condizione ${\displaystyle \lim \varphi (n)u_{n}=0}$, necessaria d’altronde per la convergenza di ${\displaystyle \sum u_{n}}$ (num. 10), non lo è punto per l’enunciato del teorema precedente: in altri termini se ${\displaystyle \varphi (n)u_{n}}$ ha un limite differente da zero (nel qual caso già sappiamo che ${\displaystyle \sum u_{n}}$ è divergente (num. 10)) dico che non si potrà mai avere ${\displaystyle \lim h_{n}>0}$; e quindi il caso di ${\displaystyle \lim h_{n}>0}$ resterà da sè soltanto quando ${\displaystyle \lim \varphi (n)u_{n}=0}$, cioè quando ${\displaystyle \sum u_{n}}$ è convergente.

Supponiamo infatti che si abbia

essendo ${\displaystyle \alpha }$ una quantità diversa da zero; e consideriamo separatamente i casi di ${\displaystyle \alpha }$ finito, e di ${\displaystyle \alpha }$ infinito.