[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:22|3|0]]

necessariamente, a partire da un certo valore di ${\displaystyle n}$, si avrebbe

ovvero

e quindi ${\displaystyle \varphi (n)u_{n}}$ n sarebbe decrescente, e non potrebbe divenire infinita.

Dunque anche in questo caso ${\displaystyle h_{n}}$ non potrà avere un limite positivo, e quindi si può ora concludere che quando si abbia ${\displaystyle \lim h_{n}>0}$, la condizione ${\displaystyle \lim \varphi (n)u_{n}=0}$ viene soddisfatta da per sè, e si ha perciò il teorema generale seguente:

Essendo ${\displaystyle \varphi ({\rm {n)}}}$ una funzione positiva di ${\displaystyle {\rm {n}}}$ e tale che la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}}$ sia divergente, la serie ${\displaystyle \sum {\rm {u_{n}}}}$ sarà convergente o divergente secondo che la espressione

avrà un limite positivo o negativo; e sarà pure divergente quando ${\displaystyle {\rm {h_{n}}}}$, tendendo a zero, sarà sempre negativa fuori del limite.

Quando ${\displaystyle {\rm {h_{n}}}}$ sia identicamente nullo, la serie ${\displaystyle \sum {\rm {u_{n}}}}$ sarà evidentemente divergente, giacchè sarà

ove ${\displaystyle \beta }$ non varia col crescere di ${\displaystyle n}$ per valori interi; e quindi si avrà

Il criterio precedente adunque lascerà il dubbio soltanto nel caso in cui ${\displaystyle h_{n}}$ tenderà a zero essendo sempre positivo fuori del limite.

Osservazione. — È da notarsi che dalla dimostrazione del teorema precedente risulta che, quando la serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ sia divergente, ${\displaystyle h_{n}}$ tenderà sempre a zero finchè ${\displaystyle \varphi (n)}$ è tale che ${\displaystyle \lim \varphi (n)u_{n}}$ non è infinito.

20. Pel teorema generale precedente ogni serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ di cui sia nota la divergenza conduce subito ad un criterio di convergenza o divergenza di un altra serie qualunque ${\displaystyle \sum u_{n}}$.