[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:27|3|0]]decisivo poichè si avrà

Così dunque si vede intanto che per ogni serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ esiste una serie divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ che rende decisivo il criterio del num. 19. Per vedere poi come di queste serie divergenti ne esista un numero infinito per ogni serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$, supponiamo che ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ sia una di quelle serie divergenti (che ora abbiamo visto esistere) che danno per ${\displaystyle h_{n}}$ una espressione avente un limite finito e diverso da zero, e cerchiamo che cosa divenga ${\displaystyle \lim h_{n}}$ quando invece di servirsi della serie divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ ci si serve di un’altra serie pure divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}}$.

Si osservi perciò dapprima che, con questa serie, si avrà

e poichè colla serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ si ha

così si avrà

(7)

${\displaystyle h'_{n}=\theta (n)h_{n}-\varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}.}$

Ciò posto, si distinguano i tre casi di ${\displaystyle \theta (n)}$ decrescente indefinitamente col crescere di ${\displaystyle n}$; ${\displaystyle \theta (n)}$ sempre finito e diverso da zero; ${\displaystyle \theta (n)}$ crescente indefinitamente con ${\displaystyle n}$:

1º Caso: ${\displaystyle \theta (n)}$ decrescente indefinitamente.

In questo caso osserviamo che applicando il criterio del num. 1 alla serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ col prendere ${\displaystyle k_{n}=\theta (n)}$, si vede che si dovrà avere