[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:28|3|0]]

poichè la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ è divergente: per questa dalla (7) si avrà

e quindi, se ${\displaystyle h_{n}}$ ha, come si è supposto un limite finito, la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}}$, con ${\displaystyle \theta (n)}$ decrescente indefinitamente, renderà dubbio il criterio poichè si avrà ${\displaystyle \lim h'_{n}=0}$.

2º Caso: ${\displaystyle \theta (n)}$ differente da zero e finito. In questo caso, applicando il criterio del num. 19 alla serie ${\displaystyle \sum v_{n}=\sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}}$ e servendosi per questo della ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$, si vede che si dovrà avere (num. 19)

giacchè la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}}$ è divergente e ${\displaystyle \varphi (n)v_{n}={\frac {1}{\theta (n)}}}$ ha un limite finito.

Dunque, poichè ${\displaystyle \theta (n)}$ è sempre finito, si avrà anche

e perciò dalla (7) risulterà ancora

e quindi ${\displaystyle h'_{n}}$ avrà un limite finito e diverso da zero come ${\displaystyle h_{n}}$, e la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}}$ servirà appunto come la ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$.

3º Caso: ${\displaystyle \theta (n)}$ crescente indefinitamente con ${\displaystyle n}$.

In questo caso dalla (7) si vede subito che, se ${\displaystyle h_{n}}$ ha un limite differente da zero e negativo, ${\displaystyle h'_{n}}$ avrà per limite l’infinito negativo; e se ${\displaystyle h_{n}}$ ha un limite differente da zero e positivo, ${\displaystyle h'_{n}}$ avrà per limite l’infinito positivo, giacchè siccome la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}}$ è divergente, si avrà per essa