[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:32|3|0]]

e in questi casi, per poter decidere se le serie corrispondenti sono convergenti, o no, bisognerà cangiare la funzione ${\displaystyle \varphi (n)}$ o applicare altri criteri.

Fermiamoci in particolare sul caso in cui si voglia cangiare la funzione ${\displaystyle \varphi (n)}$. Le considerazioni fatte al num. 22 ci mostrano subito che se, servendosi della serie divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$, si è trovato

la serie divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}}$ che converrà prendere perchè il criterio del n. 19 riesca decisivo (e che certo dovrà esistere) dovrà essere tale che ${\displaystyle \theta (n)}$ cresca indefinitamente con ${\displaystyle n}$; e quindi si può dire che: scelta una serie divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}}$, se applicando con essa il teorema del num. 19 alla ricerca della convergenza o divergenza di un’altra serie ${\displaystyle \sum {\rm {u_{n}}}}$, si troverà il caso dubbio, allora, per potere decidere, converrà prendere invece della serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}}$ un’altra serie ancora divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\psi ({\rm {n)}}}}=\sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)\theta ({\rm {n)}}}}}}}$ i cui termini tendano a divenire infinitamente piccoli rispetto a quelli di ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}}$.

È così che quando non serva il criterio ${\displaystyle \lim \left\{{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-1\right\}\gtrless 0}$ bisognerà passare ad un altro ${\displaystyle \lim \left\{\varphi (n){\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-\varphi (n+1)\right\}\gtrless 0}$ nel quale ${\displaystyle \varphi (n)}$ cresca indefinitamente con ${\displaystyle n}$, e sia tale che la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$ sia divergente. Passando allora ad un ${\displaystyle \varphi (n)}$ ognor più crescente, il criterio finirà per venire decisivo, e le funzioni ${\displaystyle \varphi (n)}$ le più appropriate saranno successivamente quelle funzioni

e le altre

che deducemmo al num. 6 da una stessa serie divergente rappresentata ivi con ${\displaystyle \sum u_{n}}$.