[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:33|3|0]]

25. Nella scelta della funzione ${\displaystyle \theta (n)}$ la quale fa sì che il criterio divenga decisivo, ordinariamente converrà procedere per tentativi. Però può darsi qui una proprietà di questa funzione ${\displaystyle \theta (n)}$, mediante la quale potranno talvolta risparmiarsi dei tentativi laboriosi e infruttuosi.

Riprendiamo infatti la formola

e supponiamo che la serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ alla quale si applica il criterio sia convergente. È chiaro allora che, siccome la parte ${\displaystyle \varphi (n+1)\{\theta (n+1)-\theta (n)\}}$ di ${\displaystyle h'_{n}}$ è sempre positiva, ${\displaystyle h'_{n}}$ non potrà mai avere un limite differente da zero finchè ${\displaystyle \theta (n)}$ sia tale che ${\displaystyle \lim \theta (n)h_{n}=0}$, e quindi si può dire intanto che, se ${\displaystyle \sum u_{n}}$ è convergente, affinchè servendosi della serie divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}}$ il criterio riesca decisivo, ${\displaystyle \theta (n)}$ dovrà essere tale che ${\displaystyle \lim \theta (n)h_{n}>0}$.

Se poi ${\displaystyle \sum u_{n}}$ è divergente, l’imporre a ${\displaystyle \theta (n)}$ questa condizione non arreca alcuno svantaggio.

Però bisogna osservare che non sempre sarà possibile trovare una funzione ${\displaystyle \theta (n)}$ tale che ${\displaystyle \lim \theta (n)h_{n}>0}$, e che al tempo stesso la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)\theta (n)}}}$ sia divergente. Ma in questo caso evidentemente la serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ sarà divergente, e quindi si può concludere che: Scelta una serie divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)}}}}}$, se con essa si troverà ${\displaystyle \lim {\rm {{h_{n}}=0}}}$, la nuova serie divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi ({\rm {n)\theta ({\rm {n)}}}}}}}$ che converrà scegliere per rendere decisivo il criterio, dovrà essere tale che ${\displaystyle \lim \theta ({\rm {n){\rm {{h_{n}}>0}}}}}$: e se questa serie divergente non potrà esistere si potrà subito affermare che la serie ${\displaystyle \sum {\rm {u_{n}}}}$ è divergente.

26. Questa semplice osservazione conduce subito al noto teorema di Gauss che ci dice che: La serie ${\displaystyle \sum {\rm {u_{n}}}}$ nella quale si ha

ove ${\displaystyle \lambda }$ è una costante positiva e ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,b_{1},b_{2},\ldots }$ sono costanti, è convergente se ${\displaystyle {\rm {a_{1}-{\rm {b_{1}>1}}}}}$, e divergente se ${\displaystyle {\rm {a_{1}-{\rm {b_{1}\leq 1}}}}}$.