[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:34|3|0]]

Prendendo infatti, per la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{\varphi (n)}}}$, la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}$, si ha

e di qui si vede intanto che ${\displaystyle \sum u_{n}}$ è convergente o divergente secondo che ${\displaystyle a_{1}-b_{1}\gtrless 1}$.

Nel caso poi di ${\displaystyle a_{1}-b_{1}=1}$, si vede subito, pel teorema precedente, che ${\displaystyle \sum u_{n}}$ è ancora divergente, giacchè in questo caso ${\displaystyle h_{n}}$ tende a zero ed è impossibile trovare una serie divergente ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n\theta (n)}}}$ tale che ${\displaystyle \lim \theta (n)h_{n}>0}$, poichè dalla espressione di ${\displaystyle h_{n}}$ si vede che, onde si avesse ${\displaystyle \lim \theta (n)h_{n}>0}$, ${\displaystyle \theta (n)}$ dovrebbe divenire infinita almeno del primo ordine rispetto ad ${\displaystyle n}$, e allora la serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n\theta (n)}}}$ verrebbe convergente poichè le serie ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{1+\mu }}}}$ sono tutte convergenti qualunque sia la costante positiva ${\displaystyle \mu }$.

27. Notiamo che al modo stesso si vede anche che: La serie ${\displaystyle \sum u_{n}}$ nella quale si ha

ove gli esponenti sono costanti e in ordine decrescente, e i coefficienti ${\displaystyle {\rm {a}}}$ e ${\displaystyle {\rm {b}}}$ sono funzioni di ${\displaystyle {\rm {n}}}$ che non crescono indefinitamente con ${\displaystyle {\rm {n}}}$, sarà convergente o divergente secondochè

e sarà divergente anche quando

purchè ${\displaystyle {\rm {a_{1}-b_{1}-1}}}$ col crescere indefinitamente di ${\displaystyle {\rm {n}}}$ divenga infinitesimo di ordine finito rispetto ad ${\displaystyle {\frac {1}{\rm {n}}}}$.