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32 | ulisse dini |
[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Sulle serie a termini positivi.djvu{{padleft:4|3|0]]
giacchè si troverà allora
Di qui risulta intanto che per ogni serie esiste una funzione per la quale il criterio riesce decisivo. È facile ora di vedere che di tali funzioni ne esiste sempre un numero infinito.
Infatti se è una tale funzione, indicando con un’altra funzione tale che , e prendendo in luogo della , si troverà
e se è convergente e si ha , basterà prendere decrescente ma che non tenda a zero perchè si abbia ancora ; e se è divergente, e si ha , basterà prendere crescente perchè si abbia ancora .
Queste proprietà erano state notate anche dal sig. Kummer. Egli soltanto, invece di introdurre la funzione che tenda a zero, introduceva una funzione tale che , e quindi i suoi teoremi risultano da questi, facendovi
Per ora, giova più lasciarli sotto la forma che loro abbiamo dato.
3. Andiamo adesso si vedere come il teorema del numero 1 conduca subito ad altri sulle serie.
Incominciamo intanto dal mostrare con esso il teorema noto che: la serie i cui termini sono alternativamente positivi