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ulisse dini

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giacchè, se poniamo in questa in luogo delle

u

del secondo membro la quantità maggiore

u_{\psi (n)}

, si vede che onde sia soddisfatta questa diseguaglianza basta che lo sia l’altra

$\varphi (n)u_{\psi (n)}>a\{\psi (n+1)-\psi (n)\}u_{\psi (n)};$

e quindi basta prendere

$a<{\frac {\varphi (n)}{\psi (n+1)-\psi (n)}},$

ovvero

$a<{\frac {\dfrac {\varphi (n)}{\psi (n)}}{{\dfrac {\psi (n+1)}{\psi (n)}}-1}};$

e se ${\frac {\varphi (n)}{\psi (n)}}$ non ha per limite zero, e ${\frac {\psi (n+1)}{\psi (n)}}$ non ha per limite l’infinito si potrà evidentemente sempre prendere per $a$ un valore finito e differente da zero tale che quest’ultima diseguaglianza e quindi anche la (1) resti soddisfatta qualunque sia $n$ .

Ciò posto, si cangi nella (1) $n$ in $1,2,3,\ldots ,n$ e si sommi; si otterrà

$U'_{n}>U_{n};$

e se ne concluderà che se la serie $U'$ è convergente lo sarà pure la serie $U$ , e se la $U$ è divergente lo sarà pure la $U'$ .

Così una parte del teorema è già dimostrata. Per dimostrare ora l’altra parte, osserviamo che esisterà sempre un valore finito e differente da zero $b$ tale che si abbia

(2)

\varphi (n)u_{\psi (n)}<b\{u_{\psi (n-1)+1}+u_{\psi (n-1)+2}+\cdots +u_{\psi (n)}\};

poichè basterà per questo che si abbia

$\varphi (n)u_{\psi (n)}<b\{\psi (n)-\psi (n-1)\}u_{\psi (n)};$

e quindi basterà prendere

$b>{\frac {\dfrac {\varphi (n)}{\psi (n)}}{1-{\dfrac {\psi (n-1)}{\psi (n)}}}};$

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