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sulle serie a termini positivi

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ove i logaritmi sono neperiani, e basterà perciò di studiare questa sola.

Ora per studiare questa si osservi che, essendo $z$ una quantità positiva, minore di 1, si ha

$\log \left({\frac {1}{1-z}}\right)>z>\log(1+z)$ ,

e quindi, prendendo $z={\frac {u_{n}}{S_{n}}}$ , si avrà

$\log S_{n}-\log S_{n-1}>{\frac {u_{n}}{S_{n}}}>\log(S_{n}+u_{n})-\log S_{n}$

e poichè i termini di $\sum u_{n}$ non sono crescenti, evidentemente in $\log(S_{n}+u_{n})$ ad $u_{n}$ potremo sostituire $u_{n+1}$ , e così si troverà

$\log S_{n}-\log S_{n-1}>{\frac {u_{n}}{S_{n}}}>\log S_{n+1}-\log S_{n}$

Facciamo ora in questa $n=2,3,\ldots ,n$ e supponiamo per comodo $u_{1}=1$ ; allora, sommando le diseguaglianze che ne risultano e l’altra

$1={\frac {u_{1}}{S_{1}}}>\log S_{2}$ ,

si troverà

$\log S_{n}+1>S'_{n}>\log S_{n+1}$ ;

e quindi poichè si ha

$\log S_{n}+1=\log S_{n}+\log e=\log eS_{n},\quad S_{n+1}>S_{n}$ ,

ove $e$ indica la base dei logaritmi neperiani, se ne dedurrà l’altra

(a)

\log eS_{n}>S'_{n}>\log S_{n}

;

e questa ci condurrà subito al teorema.

Infatti, pel caso di $\mu$ negativa o nulla, si osserverà che da questa si hanno le seguenti

${\begin{aligned}S'_{n}&>\log S_{n},\\S''_{n}&>\log S'_{n}>\log ^{2}S_{n},\\S'''_{n}&>\log S''_{n}>\log ^{3}S_{n},\\&.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;.\;\;\\S_{n}^{p}&>\log S_{n}^{p-1}>\log ^{p}S_{n};\end{aligned}}$

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