Quanto al mio pensiero circa lo specchio: so che quando Ella vi avesse fatto qualche particolare riflessione, facile saria stato indovinare il modo da me pensato, che per appunto parmi ch'ella fosse sulla traccia per ritrovarlo, mentre mi ha accennato che stimava potesse essere uno specchio parabolico, se bene sfondato. Il mio pensiero adunque è tale. Sia nella sopraposta figura lo specchio parabolico adg, il cui asse xd, et foco o pochissimo distante dal fondo dello specchio d; e per o si tiri la if perpendicolare ad xo, che termini nella superficie dello specchio in b, f. Venghino poi dal sole (verso il cui centro sia indirizzato l'asse xd) paralleli al detto asse quanti raggi si vogliono, ma per nostro esempio et intelligenza li due ha, lg, che incontrino la superficie dello specchio nella bocca, come in a, g, e li altri due mb, nf che incontrino li punti b, f. È dunque manifesto che questi quattro raggi anderanno ad unirsi nel punto o, foco del detto specchio, li quali tuttavia qui non si fermeranno, ma passando più oltre, incontreranno di nuovo la superficie del medesimo specchio: come li due ha, lg che fecero le prime riflessioni in a, g, faranno le seconde in e, c per er, cs e li due mb, nf che fecero le prime riflessioni in b, f faranno le seconde pure in b, f permutatamente, cioè mb in f, per fn, et nf, in b, per bm, mediante le quali due riflessioni de' raggi si viene ad ottenere quello che fa al nostro proposito, cioè ch'entrando il lume per linea parallela all'asse xd, di una tanta grossezza come nella larghezza dell'armilla hmnl, esce la medesima quantità di lume nell'ampiezza dell'armilla msrn, poiché li raggi per esempio intermedii alli due ha, mb, mediante la loro seconda reflessione fatta doppo il transito per il foco o, usciranno tutti ristretti fra li due er, fn riflessi dalla parte dello specchio ef, e l'istesso accaderà ai raggi intermedii alli due lg, nf, che usciranno da bc ristretti fra li due bm, cs, cioè in somma con questo artificio noi stringeremo il lume del sole che entra largo e diradato nello specchio, e nella parte ab, gf, mediante la seconda riflessione fatta da parte di esso specchio bc, ef; e mantenendo i raggi pur paralleli all'asse xd. Da questo dunque è manifesto che quanto più vicino sarà il foco o, al fondo dell specchio (il che porta che lo specchio sia sempre più, e più cavo), il lume uscirà sempre più constipato, e per linee paralle all'asse xd, sicchè potiamo fabricare tale specchio che lo riduca a che strettezza, o sottigliezza che vogliamo. Queste cose sono molto conformi alla dottrina del mio specchio ustorio, come ella subito comprenderà, poichè se bene in questa operazione adopero un solo specchio, questo però fa l'offizio di due, quali sono distinti dal cerchio bf, imperocchè abfg è lo specchio grande, e bdf il piccolo, situati in modo che il foco del grande che è o, sta unito con il foco del piccolo, che pure è l'istesso o, la quale unione stimo conforme alla struttura insegnata nel mio Libro, invero molto difficile da ottenersi in pratica, siccome a questo modo viene levata per mio credere gran parte di difficoltà. È però vero che in questo modo non posso godere del benefizio della convertibilità dello specchietto bdf per abbruciare da ogni banda, ma per rimedio di questo due cose mi sono sovvenute, delle quali non ne ho veramente dimostrazione, ma solo probabile congettura, e se ne deve attendere l'ammaestramento dalla esperienza.

La prima è che se bene è vero che le suddette cose si verificano stando l'asse dello specchio indirizzato verso il centro del sole, nondimeno inclinando alquanto lo specchio non si facci sì presto il diradamento del cannoncino di lume, nato dalla seconda riflessione , sicché non conservi anco forza di abbruciare (intorno alla qual cosa li confesso che ho specolato non poco per sapere eh' effetto farebbono li raggi che mirassero obliquamente nello specchio, e non paralleli all'asse, nella seconda riflessione non avendo potuto comprendere per specolativa fin'hora a bastanza il loro effetto, come né anco nelle altre sezioni coniche), l'altra è che conservando noi l'asse dello specchio verso il centro del sole potessimo nella bocca di esso specchio opporre all'uscita del cannoncino luminoso un specchietto piano convertibile da ogni banda, che da ogni banda appunto lo potria parimente riflettere , non alterando la grossezza di esso cannoncino, ma in questo ci è da dubitare che volendo adoperare 3 riflessioni non indebolischino tanto il lume, che non sia atto ad abbruciare, nel che mi rimetto ali' esperienza.

Questo è quanto posso dire al mio signor Galileo, perché esso ne resti gustato, et insieme servitone il Ser.^mo Gran Duca mio Signore. Io dissi forse troppo temerariamente che mi parea cosa bella, ma ora mi correggo rimettendoni al suo sottilissimo giudizio, e vendendogliela, o per dir meglio offerendogliela per quello che vale, e per niente più. Non mi scordo poi di far la prova in piccolo, frattanto mi avvisi per grazia della ricevuta di questa che non vorrei già che andasse a male, e del suo parere da me stimatissimo, facendone parie al Ser.^mo Gran Duca, quando sia tornalo, e mia scusa per la indisposizione che ho, et insieme in nome mio humilissima riverenza ad essi Ser.^mi, che io pertanto desidero a V. S. Ecc.^ma compita sanità , li bacio affettuosissimamente le mani.

Di VS. M.^to Ill.^e et Ecc.^ma

Di Bologna alli 11 Marzo 1636.