equidistanti, consideriamo una retta arbitraria r e gli infiniti piani ad essa perpendicolari: questi piani passano tutti per un'altra retta r', la polare di r nella polarità assoluta dello spazio ellittico. Un qualsiasi segmento che congiunga un punto di r con un punto di r' è perpendicolare tanto ad r quanto ad r' ed ha una lunghezza costantemente uguale alla semiretta. Da ciò risulta che r ed r' sono rette sghembe equidistanti.

Ma due sifatte equidistanti offrono un caso particolarissimo, inquantochè tutti i punti di r hanno la stessa distanza non solo da r, ma da tutti i punti di r'.

Per mettere in luce l'esistenza di rette equidistanti, in cui l'ultima particolarità non abbia luogo, consideriamo ancora due rette r ed r', l'una polare dell'altra e su di esse i rispettivi segmenti AB, A'B' uguali ad un segmento dato, minore della semiretta^[1]. Congiungendo A con A' e B con B' si ottengono due rette a, b, non polari l'una dell'altra e perpendicolari entrambe alle due rette r, r'. Si può facilmente dimostrare che a e b sono equidistanti. Perciò si fissi su AA' un segmento A'H, poi sul segmento supplementare^[2] di A'HA si fissi il segmento AM uguale ad A'H.

1. ↑ Nella fig. 65, mancano le due lettere r, r', corrispondenti alle due rette AB, A'B'
2. ↑ I due segmenti che due punti determinano sopra una retta si dicono supplementari.