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Sia per esempio:

(1)	${\displaystyle a_{r1}x_{1}+a_{r2}x_{2}+\cdots +a_{rn}x_{n}=0}$
	${\displaystyle (r=1,2,\ldots ,n)}$

il dato sistema di equazioni, che supponiamo di caratteristica ${\displaystyle h=n-1}$. Il determinante ${\displaystyle D}$ di ordine ${\displaystyle n}$ formato con tutti i loro coefficienti sarà nullo; e noi potremo supporre che sia differente da zero il seguente minore di ordine ${\displaystyle n-1}$

che è il complemento algebrico ${\displaystyle A_{nn}}$ di ${\displaystyle a_{nn}}$ nel determinante ${\displaystyle D}$. Noi sappiamo in tal caso che, scelto ad arbitrio il valore ${\displaystyle \mu }$ di ne risulteranno determinati i valori delle altre ${\displaystyle x}$.

Posto ${\displaystyle \lambda ={\frac {\mu }{A_{nn}}}}$ (ricordo che ${\displaystyle A_{n}n\not =0}$), il valore dato ad ${\displaystyle x}$ sarà ${\displaystyle \lambda A_{nn}}$, dove ${\displaystyle \lambda }$ è una quantità arbitraria. Con questo valore della ${\displaystyle x_{n}}$, restano fissati i valori di ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}}$, e senza nessun calcolo si può verificare che questi valori sono

Infatti se si pone:

(2)	${\displaystyle x_{i}=\lambda A_{ni}\;(i=1,2,\ldots n)\;(\lambda =}$costante arbitraria)

nella ${\displaystyle r^{esima}(r=1,2,\dots n)}$ delle nostre equazioni, il suo primo membro diventa ${\displaystyle \lambda (a_{r1}A_{n1}+a_{r2}A_{n2}+\ldots +a_{rn}A_{nn})}$, che è zero se ${\displaystyle r\not =n}$ (pag. 70, § 20, teorema V°), ed è pure nullo se ${\displaystyle r=n}$, perchè per ${\displaystyle r=n}$ esso diventa ${\displaystyle \lambda D}$, che è nullo per ipotesi.

Le (2) danno dunque nel caso attuale la più generale soluzione di (1).

1° Se ${\displaystyle \Delta ,\Delta ',\Delta ''}$ sono i discriminanti delle equazioni

${\displaystyle f(x)=0}$;

${\displaystyle g(x)=0}$;

${\displaystyle f(x)g(x)=0}$,

allora, se ${\displaystyle \Delta \not =0,\Delta '\not =0}$, si ha che ${\displaystyle {\frac {\Delta ''}{\Delta \Delta '}}}$ è il quadrato del risultante delle

${\displaystyle f(x)=0}$,

${\displaystyle g(x)=0}$.

2° Dimostrare direttamente che un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ di grado ${\displaystyle n-1}$ è univocamente determinato, quando se ne conoscano i valori ${\displaystyle P(a_{1}),P(a_{2}),\cdots ,P(a_{n})}$ che esso assume in n punti distinti ${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$; e calcolare tale polinomio.