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Def. Una variabile (reale) ${\displaystyle y}$ si dice funzione della variabile (reale) ${\displaystyle x}$ per i valori di ${\displaystyle x}$ che appartengono a un certo insieme ${\displaystyle G}$ (campo di esistenza della ${\displaystyle y}$) se ad ogni valore dato alla ${\displaystyle x}$ nell'insieme ${\displaystyle G}$ corrisponde uno e un solo valore della ${\displaystyle y}$^[1].

Se poi ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ sono due tali funzioni della ${\displaystyle x}$, definite nello stesso insieme ${\displaystyle G}$, allora ${\displaystyle y+iz}$ si dirà funzione complessa della variabile reale ${\displaystyle x}$ definita nel campo ${\displaystyle G}$.

Salvo avvertenza contraria, noi parleremo soltanto di funzioni reali.

β) Si hanno spessissimo funzioni definite analiticamente. Così p. es. ${\displaystyle y=mx+n}$ (${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ costanti arbitrarie) rappresenta una variabile ${\displaystyle y}$ che ha un valore determinato, qualunque sia il valore dato allo ${\displaystyle x}$ {cioè il campo di esistenza della ${\displaystyle y}$ è formato da tutto l'intervallo ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$]. Altrettanto avviene della ${\displaystyle y=\operatorname {sen} x}$.

La ${\displaystyle y=+{\sqrt {x-3}}}$ definisce una funzione (reale) ${\displaystyle y}$ della ${\displaystyle x}$ nell'intervallo ${\displaystyle (3,+\infty )}$.

La ${\displaystyle y=+{\sqrt {x-3}}+{\sqrt {4-x}}}$ definisce una funzione (reale) della ${\displaystyle x}$ nell'intervallo ${\displaystyle (3,4)}$.

Invece la ${\displaystyle y=+{\sqrt {x-3}}+{\sqrt {2-x}}}$ non definisce nessuna funzione (reale) della ${\displaystyle x}$. Infatti, qualunque sia il valore dato alla ${\displaystyle x}$, uno almeno dei binomii ${\displaystyle x-3}$, ${\displaystyle 2-x}$ è negativo, così che non esiste (nel campo dei numeri reali) la sua radice quadrata.

La ${\displaystyle y={\frac {1}{x}}}$ definisce una funzione della ${\displaystyle x}$ nel campo formato da tutti i valori della ${\displaystyle x}$ differenti da zero.

Per indicare che ${\displaystyle y}$ è una funzione della ${\displaystyle x}$ si suole scrivere ${\displaystyle y=f(x)}$. Se poi si considera ${\displaystyle x}$ come un numero dato, lo stesso simbolo indica il valore corrispondente della funzione; in altri termini si fa la convenzione di rappresentare con ${\displaystyle f(a)}$ il valore che la funzione assume per il valore particolare ${\displaystyle a}$ della variabile: così ${\displaystyle \operatorname {sen} {\frac {\pi }{2}}}$ è il valore, che la funzione ${\displaystyle \operatorname {sen} x}$ assume per ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}}$.

L'uguaglianza ${\displaystyle y=f(x)}$ esprime dunque semplicemente che ${\displaystyle y}$

1. ↑ In sostanza dunque l’idea di funzione non è che l’idea di corrispondenza tra due classi di numeri ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ (univoca in un senso), ossia coincide con l’idea di classe di coppie di numeri ${\displaystyle (x,y)}$ tale che per ogni ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle G}$ esista una e una sola coppia che lo contenga.