Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/121

Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta.

{{rigaIntestazione||funzioni, limiti

§ 32. — Limiti.

Cerchiamo di dare una definizione di limite, che corrisponde alla nozione intuitiva messa in evidenza dagli esempi del § 31.

A) In generale sia $y$ una funzione della $x$ definita in un certo campo $G$ .

Noi scriviamo $\lim _{x=a}y=b$ ( $a,b$ ) numeri finiti), se, preso un numero positivo $\epsilon$ piccolo a piacere^[1], la differenza $y-b$ è minore in valore asosluto di $\epsilon (|y-b|)\leq \epsilon )$ , per tutti i numeri $x$ di $G$ abbastanza vicini ad $a$ , ma differenti da $a$ .

Noi scriviamo $\lim _{x=\infty }y=b$ ( $b$ ) numero finito) se, preso un numero positivo $\epsilon$ piccolo a piacere, la differenza $y-b$ è minore in valore assoluto di $\epsilon (|y-b|\leq \epsilon )$ per tutti i valori $x$ di $G$ abbastanza grandi in valore assoluto.

Per precisare tale definizione, osseviamo che sono equivalenti le frasi seguenti:

$\alpha )$ “Il numero $x$ è abbastanza vicino al numero $a$ „.

$\beta )$ “La differenza $x-a$ è abbastanza piccola in valore assoluto„.

$\gamma )$ Il punto $x$ appartiene ad un certo intorno del numero $a$ (o anche ad un intorno abbastanza piccolo di $a$ ).

$\alpha ')$ Il numero $x$ è abbastanza grande in valore assoluto.

$\beta ')$ Il numero ${\frac {1}{x}}$ è abbastanza piccolo in valore assoluto.

$\gamma ')$ Il punto $x$ appartiene ad un certo intorno di $\infty$ .

Se poi vogliamo precisare il significato delle parole “abbastanza„ “un certo„, che compaiono nelle frasi precedenti, e che possono avere un significato più o meno ampio a seconda del problema trattato, possiamo dire:

$\delta )$ La differenza $x-a$ non supera in valore assoluto un certo numero $\sigma (|x-a|<\sigma )$ ^[2].

$\epsilon )$ Il punto $x$ appartiene ad un intorno <math(a-\sigma, a+\sigma)</math> del numero $a$ .

$\delta ')$ Il numero $x$ supera in valore assoluto un certo numero $m$

$\epsilon '$ Il punto $x$ appartiene ad un certo intorno $(m,+\infty )$ o $(-\infty ,m)$ del punto $\infty$ .

{fineColonna}}

↑ La definizione non cambierebbe di significato se io dicessi solamente: “un numero $\epsilon$ arbitrario „.
↑ L'“abbastanza piccolo„ acquista così il significato preciso di “minore di $\sigma$ in valore assoluto„

Questa voce è stata pubblicata da Wikisource. Il testo è rilasciato in base alla licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo. Potrebbero essere applicate clausole aggiuntive per i file multimediali.

[1] La definizione non cambierebbe di significato se io dicessi solamente: “un numero $\epsilon$ arbitrario „.

[2] L'“abbastanza piccolo„ acquista così il significato preciso di “minore di $\sigma$ in valore assoluto„

[1]

[2]