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CAPITOLO VI - § 32

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Con queste osservazioni le definizioni precedenti si possono enunciare anche così:

Noi scriviamo $\lim _{x=a}y=b$ ( $a,b$ numeri finiti) se, comunque si scelga un numero positivo $\epsilon$ piccolo a piacere, esiste un numero $\sigma$ tale che, se $x$ appartiene a $G$ , se $x\not =a$ , ed $|x-a|<\sigma$ , i valori corrispondenti alla $y$ sono tali che la differenza $y-b$ non superi $\epsilon$ in valore assoluto.

Noi scriviamo $\lim _{x=\infty }y=b$ ( $b$ numero finito) se, comunque si scelga un numero positivo $\epsilon$ piccolo a piacere, esiste un numero $m$ tale che, se $x$ appartiene a $G$ , e se $|x|>|m|$ , i valori corrispondenti della $y$ sono tali che la differenza $y-b$ non superi $\epsilon$ in valore assoluto.

Ed infine si possono dare le precedenti definizioni nella frma seguente, valida in entrambi i casi, affatto completa e precisa:

Si dice che $\lim _{x=a}y=b$ ( $a$ finito o infinito, $b$ finito), se, preso ad arbitrio un numero $\epsilon$ positivo piccolo a piacere, esiste un intorno $\gamma$ di $a$ , tale che in tutti i punti di questo intorno (il punto $a$ escluso), che appartengono al campo $G$ , ove la $y$ è definita, la $y$ assume^[1] valori, che differiscono da $b$ per non di più di $\epsilon$ , ossia che soddisfano alla

$|y-b|\leq \epsilon$ .

Questa disuguaglianza non varrà per tutti i valori di $y$ , ma soltanto per quelli che corrispondono a punti di $\gamma$ . Si noti che $\gamma$ varia in generale, quando $\epsilon$ varia. Perchè, se $\gamma$ non variasse, tale disuguaglianza varrebbe, qualunque fosse \math>\epsilon</math>, per tutti i valori di $y$ corrispondenti ai punti dell'interno fisso $\gamma$ . perciò pgnuna delle corrispondenti differenze $|y-b|$ , essendo minore di un numero $\epsilon >0$ arbitrario, sarebbe nulla. Pertanto questi valori di $y$ sarebbero tutti uguali a $b$ . Cioè esisterebbe un intorno $\gamma$ di $a$ , in cui la $y$ avrebbe sempre lo stesso valore $b$ .

Notiamo che porre la disuguaglianza

$|y-b|\leq \epsilon$ (1)

equivale a dire che entrambe le differenze $y-b,b-y$ sono algebricamente minori di $\epsilon$ . Infatti, quella di queste differenze, che è positiva, è uguale a $|y-b|$ , ed è quindi per ipotesi non maggiore di $\epsilon$ , e quella delle due precedenti differenze, che è negativa, è certamente minore di $\epsilon$ , perchè $\epsilon$ è positivo.

↑ Ricordo che si dice valore assunto dalla $y$ in un punto, p. es., nel punto $x=c$ , il valore di $y$ corrisponde al valore $c$ della $x$ .

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[1] Ricordo che si dice valore assunto dalla $y$ in un punto, p. es., nel punto $x=c$ , il valore di $y$ corrisponde al valore $c$ della $x$ .

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